Урок алгебры в 12 классе.
Тема урока: «Первообразная. Интеграл»
Цели:
образовательные
Обобщить и закрепить материал по данной теме: определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
Развивающие
выполнять задания повышенной сложности, развивать обще учебные навыки и учить мыслить и выполнять контроль и самоконтроль
Воспитывающие
Воспитывать, положительное отношение к учебе, к математике
Тип урока: Обобщение и систематизация знаний
Формы работы: групповая, индивидуальная, дифференцированная
Оборудование: карточки для самостоятельной работы, для дифференцированной работы, лист самоконтроля, проектор.
Ход урока
Организационный момент
Цели и задачи урока: Обобщить и закрепить материал по теме «Первообразная. Интеграл» - определение и свойство первообразной, таблица первообразных, правила нахождения первообразных, понятие интеграла, формула Ньютона -Лейбница,вычисление площадей фигур. Провести диагностику усвоения системы знаний и умений и её применения для выполнения практических заданий стандартного уровня с переходом на более высокий уровень, способствовать развитию умения анализировать, сравнивать, делать выводы.
Урок проведем в форме игры.
Правила:
Урок состоит из 6 этапов. Каждый этап оценивается определенным количеством баллов. В оценочном листе выставляете баллы за свою работу на всех этапах.
1 этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики –нолики».
2 этап. Практический. Самостоятельная работа. Найти множество всех первообразных.
3 этап. «Ум - хорошо, а 2 - лучше». Работа в тетрадях и 2 ученика на отворотах доски. Найти первообразную функции график которой проходит через точку А).
4.этап. «Исправь ошибки».
5. этап. «Составь слово» Вычисление интегралов.
6. этап. «Спешите видеть». Вычисление площадей фигур,ограниченных линиями.
2. Оценочный лист.
Математическийдиктант
Самостоятельная работа
Устный ответ
Исправь ошибки
Составь слово
Спешите видеть
9баллов
5+1баллов
1балл
5баллов
5баллов
20баллов
3мин.
5мин.
5мин.
6 мин
2. Актуализация знаний:
этап. Теоретический. Математический диктант «Крестики – нолики»
Если утверждение верно - Х, если неверно-0
Функция F (x ) называется первообразной на заданном промежутке, если для всех х из этого промежутка выполняется равенство
Первообразная степенной функции всегда степенная функция
Первообразная сложной функции
Это формула Ньютона-Лейбница
Площадь криволинейной трапеции
Первообразная суммы функций = сумме первообразных, рассматриваемых на заданном промежутке
Графики первообразных функций получены параллельным переносом вдоль оси Х на постоянную С.
Произведение числа на функцию равно произведению этого числа на первообразную данной функции.
Множество всех первообразных имеет вид
Всего 9 баллов
3. Закрепление и обобщение
2 этап . Самостоятельная работа.
«Примеры учат лучше, чем теория».
Исаак Ньютон
Найти множество всех первообразных:
1 вариант
Множество всех первообразных Множество всех первообразныхвариант
Самопроверка.
За верно выполненные задания
1 вариант -5 баллов,
за 2 вариант +1 балл
За дополнение 1 балл.
этап . « Ум хорошо, а - 2 лучше».
Работа на отворотах доски двух учеников и все остальные в тетрадях.
Задание
1 вариант. Найти первообразную функции, график, которой проходит через точку А(3;2)
2 вариант. Найти первообразную функции, график которой проходит через начало координат.
Взаимопроверка.
За правильное решение -5 баллов.
этап . Хочешь, верь - хочешь, проверь.
Задание: исправить ошибки, если они допущены.
Найти упражнения с ошибкой:
Этап . Составить слово.
Вычислить интегралы
1 вариант.
вариант.
Ответ: БРАВО
Самопроверка. За верно выполненное задание – 5 баллов.
этап. «Спешите видеть».
Вычисление площадей фигур, ограниченных линиями.
Задание: построить фигуру и вычислить её площадь.
2 балла
2 балла
4 балла
6 балла
6 балла
Проверка индивидуально у учителя.
За верно выполненные все задания - 20 баллов
Подведение итогов:
На уроке рассмотрены основные вопросы
Тема: Первообразная и неопределенный интеграл.
Цель: учащиеся проверят и закрепят знания и умения по теме «Первообразная и неопределенный интеграл».
Задачи:
Образовательная : научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы;
Развивающая : будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций;
Воспитательная : учащиеся учатся уважать чужое мнение, умение работать в группе.
Ожидаемый результат:
Углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Тип : урок закрепления
Форма: фронтальная, индивидуальная, парная, групповая.
Методы обучения : частично-поисковый, практический.
Методы познания : анализ, логический, сравнение.
Оборудование: учебник, таблицы.
Оценка учащихся: взаимооценка и самооценка, наблюдение за детьми во
время урока.
Ход урока.
Вызов.
Постановка цели:
Мы с вами умеем строить график квадратичной функции, умеем решать квадратные уравнения и квадратные неравенства, а так же решать системы линейных неравенств.
Как вы думаете, какова будет тема сегодняшнего урока?
Создание хорошего настроения на уроке. (2-3 мин)
Рисуем настроение: Настроение человека прежде всего отражается в продуктах его деятельности: рисунках, рассказах, высказываниях и др. «Моё настроение»: на общем листе ватмана с помощью карандашей каждый ребёнок рисует своё настроение в виде полоски, облачка, пятнышка (в течение минуты).
Затем листочки передаются по кругу. Задача каждого определить настроение друга и дополнить его, дорисовать. Это продолжается до тех пор, пока листочки не вернутся к своим хозяевам.
После этого обсуждают получившийся рисунок.
I II . Фронтальный опрос учащихся: «Факт или мнение» 17 мин
1. Сформулируйте определение первообразной.
2. Какие из функций
являются первообразными для функции
3. Докажите, что функция является первообразной функции на промежутке (0;∞).
4. Сформулируйте основное свойство первообразной. Как геометрически интерпретируется это свойство?
5. Для функции
найдите первообразную, график которой проходит через точку
. (Ответ:
F
(
x
) =
tgx
+ 2.)
6. Сформулируйте правила нахождения первообразной.
7. Сформулируйте теорему о площади криволинейной трапеции.
8. Запишите формулу Ньютона-Лейбница.
9. В чём заключается геометрический смысл интеграла?
10. Приведите примеры применения интеграла.
11. Обратная связь: «Плюс-минус-интересно»
IV . Индивидуально-парная работа с взаимопроверкой: 10 мин
Решить №5,6,7
V . Практическая работа: решаем в тетради. 10 мин
Решить № 8-10
VI . Итоги урока. Выставление оценок (ОдО, ОО). 2 мин
VII . Домашнее задание: п. 1 № 11,12 1 мин
VIII . Рефлексия: 2 мин
Урок:
Привлёк меня тем…
Показался интересным…
Взволновал…
Заставил задуматься…
Навёл на размышления…
Что на вас произвело наибольшее впечатление?
Пригодятся ли вам знания, приобретённые на этом уроке, в дальнейшей жизни?
Что нового вы узнали на уроке?
Что вы считаете нужным запомнить?
10. Над чем ещё надо поработать
Мною был проведен урок в 11 классе по теме «Первообразная и неопределенный интеграл », это урок закрепления темы .
Задачи, которые предстояло решить во время урока:
научатся производить вычисления первообразных и неопределенных интегралов, используя свойства и формулы; будут развивать критическое мышление, смогут наблюдать и делать анализ математических ситуаций; учащиеся учатся уважать чужое мнение, умение работать в группе.
После проведения урока я ожидала следующий результат :
Учащиеся углубят и систематизируют теоретические знания, будут развивать познавательный интерес, мышление, речь, творчество.
Создать условия для развития практического и творческого мышления. Воспитание ответственного отношения к учебному труду, воспитание чувства уважения между учащимися для максимального раскрытия их способностей через групповое обучение
На своем уроке применяла фронтальную, индивидуальную, парную, групповую работу.
Я планировала это занятие для того, чтобы закрепить с учащимися понятие первообразной и неопределенного интеграла.
Я считаю, что хорошо получилась работа по созданию постера «Рисуем настроение» в начале урока. Настроение человека, прежде всего, отражается в продуктах его деятельности: рисунках, рассказах, высказываниях и др. «Моё настроение»: когда на общем листе ватмана с помощью карандашей каждый ребёнок рисует своё настроение (в течение минуты).
Затем ватман поворачивается по кругу. Задача каждого определить настроение друга и дополнить его, дорисовать. Это продолжается до тех пор, пока картинка на ватмане не вернется к своему хозяину. После этого обсуждают получившийся рисунок. Каждый ребенок смог отобразить свое настроение и приступить к работе на уроке.
На следующем этапе урока, применяя метод «Факт или мнение», учащиеся старались доказать, что все понятия по данной теме факт, но никак не их личное мнение. При решении примеров по данной теме происходит обеспечение восприятия, осмысления и запоминания. Формируются целостные системы ведущих знаний по данной теме.
При контроле и самопроверке знаний выявляется качество и уровень овладения знаниями, а так же способами действий, обеспечивается их коррекция.
В структуру урока я включила частично-поисковое задание. Ребята самостоятельно решили задания. Проверили себя в группе. Получили индивидуальную консультацию. Я нахожусь в постоянном поиске новых приемов и методов работы с детьми. В идеальном варианте мне хочется, чтобы каждый ребенок сам планировал свою деятельность на уроке и после него, отвечал на вопросы: хочу я достичь определенных высот или нет, надо мне образование на высоком уровне или нет. На примере этого урока я постаралась показать, что сам ребенок может определить и тему, и ход урока. Что он сам может скорректировать свою деятельность и деятельность учителя таким образом, чтобы урок и дополнительные занятия отвечали его потребностям.
При выборе того или иного вида заданий я учитывала цель занятия, содержание и трудности учебного материала, тип занятия, способы и методы обучения, возрастные и психологические особенности учащихся.
При традиционной системе обучения, когда преподаватель излагает готовые знания, а учащиеся пассивно их усваивают, вопрос о рефлексии обычно не стоит.
Я считаю, что особенно хорошо получилась работа при составлении рефлексии « Что я узнал (а) на уроке…» . Это задание вызвало особенный интерес и помогли понять, как лучше организовать данную работу на следующем уроке.
Считаю, что не получилась самооценка и взаимооценка, учащиеся завышали оценки себе и товарищам.
Анализируя урок, я поняла, что учащиеся хорошо осознали значение формул и их применение при решении и научились использовать различные стратегии на разных этапах урока.
Следующее занятие я хочу провести по стратегии «Шесть шляп» и провести рефлексию «Бабочка», что позволит каждому высказать свое мнение, записать его.
Тема урока : Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства
Цели урока:
Образовательные:
ознокомить студентов с понятиями первообразной и неопределенного интеграла, основным свойством первообразной и правилами нахождения первообразной и неопределенного интеграла.
Развивающие:
развивать навыки самостоятельной деятельности,
активизировать мыслительную деятельность, математическую речь.
Воспитательные:
воспитывать чувство ответственности за качество и результат выполняемой работы;
формировать ответственность за конечный результат.
Тип урока : сообщения новых знаний
Метод проведения : словесный, наглядный, самостоятельная работа.
Обеспечение урока :
Мультимедийное оборудование и программное обеспечение для показа презентации и видео;
Раздаточный материал: таблица простейших интегралов (на этапе закрепления).
Структура занятия.
1. Организационный момент (2 мин.)
Мотивация учебной деятельности. (5 мин.)
Изложение нового материала. (50 мин.)
Закрепление изученного материала. (25 мин.)
Подведение итогов занятия. Рефлексия. (6 мин.)
Сообщение домашнего задания. (2 мин.)
Ход занятия.
Организационный момент. (2 мин.)
Приемы преподавания
Приемы учения
Преподаватель приветствует студентов, проверяет присутствующих в аудитории.
Учащиеся готовятся к работе. Староста заполняет рапортичку. Дежурные раздают раздаточный материал.
Мотивация учебной деятельности.( 5 мин.)
Приемы преподавания
Приемы учения
Тема сегодняшнего занятия «Первообразная. Неопределенный интеграл и его свойства». (Слайд 1)
Знания по данной теме нами будет использоваться на следующих уроках при нахождении определенных интегралов, площадей плоских фигур. Большое внимание уделяется интегральному исчислению в разделах высшей математики в высших учебных заведениях при решении прикладных задач.
Наше сегодняшнее занятие является занятием изучения нового материала, по этому будет носить теоретический характер. Цель занятия сформировать представления об интегральном исчислении, понять его сущность, развивать навыки при нахождении первообразных и неопределенного интеграла. (Слайд 2)
Учащиеся записывают дату и тему занятия.
3. Изложение нового материала (50 мин)
Приемы преподавания
Приемы учения
1. Мы недавно проходили тему «Производные некоторых элементарных функции». Например:
Производная функции f (х)= х 9 , мы знаем что f ′(х)= 9х 8 . Теперь мы рассмотрим пример нахождения функции, производная которой известна.
Допустим дана производная f ′(х)= 6х 5 . Используя знания о производной мы можем определить что это производная функции f (х)= х 6 . Функцию которую можно определить по ее производной называют первообразной.(Дать определение первообразной. (слайд 3))
Определение 1 : Функция F ( x )называется первообразной для функции f ( x ) на отрезке [ a ; b ], есливо всех точках этого отрезка выполняется равенство = f ( x )
Пример 1 (слайд 4): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )=х 5 -5х f (х)=5 х 4 -5.
Доказательство: Используя определение первообразной, найдем производную функции
=( х 5 -5х)′=(х 5 )′-(5х)′=5 х 4 -5.
Пример 2 (слайд 5): Докажем что для любого хϵ(-∞;+∞) функция F ( x )= не является первообразной для функции f (х)= .
Доказать вместе со студентами на доске.
Мы знаем что нахождение производной называют дифференцированием . Нахождение функции по ее производной будем называть интегрированием. (Слайд 6). Целью интегрирования является нахождение всех первообразных данной функции.
Например: (слайд 7)
Основное свойство первообразной:
Теорема: Если F ( x ) - одна из первообразных для функции f (х) на промежутке Х, то множество всех первообразных этой функции определяется формулой G ( x )= F ( x )+ C , где С действительное число.
(Слайд 8) таблица первообразных
Три правила нахождения первообразных
Правило №1: Если F есть первообразная для функции f , а G – первообразная для g , то F + G – есть первообразная для f + g .
(F(x) + G(x))’ = F’(x) + G’(x) = f + g
Правило №2: Если F – первообразная для f , а k – постоянная, то функция kF – первообразная для kf .
(kF )’ = kF ’ = kf
Правило №3: Если F – первообразная для f , а k и b – постоянные (), то функция
Первообразная для f (kx + b ).
История понятия интеграла тесно связана с задачами нахождения квадратур. Задачами о квадратуре той или иной плоской фигуры математики Древней Греции и Рима называли задачами, которые мы сейчас относим к задачам на вычисление площадей.Многие значительные достижения математиков Древней Греции в решении таких задач связаны с применением метода исчерпывания, предложенным ЕвдоксомКнидским. С помощью этого метода Евдокс доказал:
1. Площади двух кругов относятся как квадраты их диаметров.
2. Объём конуса равен 1/3 объёма цилиндра, имеющего такие же высоту и основание.
Метод Евдоксабыл усовершенствован Архимедом и были доказаны такие вещи:
1. Вывод формулы площади круга.
2. Объем шара равен 2/3 объема цилиндра.
Все достижения были доказаны великими математиками с применением интегралов.
Вернемся к теореме 1 и выведем новое определение.
Определение 2 : Выражение F ( x ) + C , где C - произвольная постоянная, называют неопределенным интегралом и обозначают символом
Из определения имеем:
(1)
Неопределенный интеграл функции f (x ), таким образом, представляет собой множество всех первообразных функций для f (x ) .
В равенстве (1) функцию f (x ) называется подынтегральной функцией , а выражение f (x ) dx – подынтегральным выражением , переменную x – переменной интегрирования , слагаемое C - постоянной интегрирования .
Интегрирование представляет собой операцию, обратную дифференцированию. Для того чтобы проверить, правильно ли выполнено интегрирование, достаточно продифференцировать результат и получить при этом подынтегральную функцию.
Свойства неопределенного интеграла.
Опираясь на определение первообразной, легко доказать следующие свойства неопределенного интеграла
Неопределенный интеграл от дифференциала некоторой функции равен этой функции плюс произвольная постоянная
Неопределенный интеграл от алгебраической суммы двух или нескольких функций равен алгебраической сумме их интегралов
Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла, то есть если a = const , то
Учащиеся записывают лекцию, используя раздаточный материал и объяснения преподавателя. При доказательствах свойств первообразных и интегралов, используют знания по теме дифференцирования.
4. Таблица простейших интегралов
1. ,( n -1) 2.
3. 4.
5. 6.
Интегралы, содержащиеся в этой таблице, принято называть табличными . Отметим частный случай формулы 1:
Приведем еще одну очевидную формулу:
Описание материала : предлагаю вам конспект урока для старшеклассников по теме: «Первообразная и Интеграл». Данный материал будет полезен педагогам, при обобщении и систематизации знаний, полученных при изучении данного раздела и поможет расширить представления учащихся о практическом значении данной темы.
Тема: «Первообразная и интеграл»
Тип: урок обобщения и систематизации знаний.
Форма: игра
Цели:
дидактические:
· формирование учебно-познавательной и информационной компетенций, посредством обобщения, систематизации знаний по теме «Первообразная. Интеграл», формирования навыков нахождения площади криволинейной трапеции несколькими способами.
развивающие:
· формирование информационной, общекультурной компетенций через развитие познавательной активности, интереса к предмету, творческих способностей учащихся, расширение кругозора, развитие математической речи.
воспитательные:
· формирование коммуникативной компетенции и компетенции личностного самосовершенствования, посредством работы над коммуникативными навыками, умением работать в сотрудничестве, над воспитанием таких личностных качеств, как организованность, дисциплинированность.
Средства обучения:
Технические : ПК, проектор, экран.
Ход урока
Подготовительный этап : группа заранее делится на две команды.
I. Организационный момент
Здравствуйте, ребята! Я рада приветствовать вас на уроке. Цель нашего урока - обобщить, систематизировать знания по теме « Первообразная и интеграл», подготовиться к предстоящему зачету.
Девиз нашей работы: «Исследуй всё, пусть для тебя на первом месте будет разум» - эти слова принадлежат древнегреческому ученому Пифагору. (слайд)
Мы совершим необычное восхождение на вершину «Пика знаний».
Первенство будут оспаривать две группы. У каждой группы свой инструктор, который оценивает коэффициент участия каждого «туриста» в нашем восхождении.
Группа, которая первой достигнет вершины «Пика знаний», станет победителем.
