Амплитудно-частотный спектр. Спектры амплитуд и фаз периодических сигналов Какая разница между амплитудным спектром и фазовым

входного сигнала

Для нахождения спектральной характеристики входного сигнала можно воспользоваться непосредственно прямым преобразованием Фурье. Второй путь решения этой задачи основан на аналогии между преобразованиями Лапласа и Фурье и состоит в замене в операторном изображении входного сигнала (10) операторной переменной p на мнимую частоту jw . В итоге после простых преобразований получим:

Амплитудный спектр входного сигнала
может быть найден как модуль спектральной характеристики сигнала:

Рисунок 4.4 АЧХ входного сигнала

Максимальное значение спектральной характеристики достигается при
и составляет . Определенная по уровню
ширина спектра сигнала составляет
. Между шириной спектра сигнала и его длительностью существует следующее соотношение:
. Для данного вида сигнала получаем: . Эта константа называется базой сигнала. Уменьшение длительности импульса в 100 раз приводит к такому же (в 100 раз) увеличению ширины его спектра. Наличие широкого спектра у коротких импульсов дает возможность использования таких импульсов для исследования частотных свойств различных цепей. В математическом смысле спектр несинусоидального сигнала неограничен.

Фазовый спектр входного сигнала определяется как аргумент от входной спектральной характеристики: .

Рисунок 4.5 Фазовый спектр входного сигнала

5.3 Определение амплитудного и фазового спектра

выходного сигнала

Амплитудно-частотная характеристика выходного сигнала может быть получена перемножением амплитудно-частотных характеристик входного сигнала
и цепи
:
.

График АЧХ выходного сигнала приведён на рис. 4.6.

Рисунок 4.6 Амплитудно-частотная характеристика

входного сигнала

Сравнение АЧХ
с соответствующей характеристикой
позволяет предположить значительное искажение формы выходного сигнала. Искажения связаны с различием величины передаточной функции для различных составляющих спектра входного сигнала. Для резистивной цепи выходной сигнал был бы подобен входному и имел бы ту же длительность. В данном случае цепи содержащей частотнозависимые элементы значительные изменения будут иметь место и для фазового спектра входного сигнала. Это приведет к нарушению фазовых соотношений между составляющими сигнала и станет другой причиной искажения формы выходного сигнала. Искажение на рис. 4.6 и рис. 4.7 ярко выражено на частоте
, т. е. той же частоте, что имела место в АЧХ функции передачи по напряжению(рис. 4.1), определяющей характеристику данной цепи как параллельного колебательного контура. Анализ преобразования импульсного сигнала основывается на представлении о том, что искажение фронта выходного импульса по сравнению с формой входного импульса зависит от свойств цепи на высоких частотах (теоретически на бесконечно высоких частотах). Искажение формы вершины импульса определяется свойствами цепи на низких частотах. Используя подобный подход, например, для анализа искажений фронта входного импульса «закорачивают» конденсаторы, находящиеся на пути следования сигнала в нагрузку и заменяют разрывом индуктивные элементы, включенные параллельно резистивным элементам схемы.

Фазовый спектр выходного сигнала может быть получен суммированием аргумента спектральной характеристики и ФЧХ цепи:

Рисунок 4.7 Фазовый спектр выходного сигнала

СПЕКТРАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ СИГНАЛОВ

В радиотехнике (связь, навигация, телевидение, радиолокация) при передаче информации широко используются сигналы сложной формы. Для анализа прохождения таких сигналов через цепь действуют таким способом: представляют сложный сигнал в виде суммы гармоничных колебаний и известным методом (например метод комплексных амплитуд) анализируют прохождение через цепь каждой гармоники. В соответствии с принципом суперпозиции форма исходного сигнала определяется как сумма исходных гармоник.

Представление сложного сигнала в виде гармонических колебаний поясняется тем, что гармонический сигнал является единственным сигналом, который при прохождении через цепь не изменяет своей формы. Изменяется только его амплитуда и начальная фаза, что существенно упрощает анализ прохождения сложных сигналов.

Спектром сигнала называется совокупность гармонических колебаний, из которых состоит сам сигнал.

Если говорить более строго, то существует два основных типа спектров: амплитудночастотный (амплитудный) и фазочастотный (фазовый) спектр.

Амплитудным спектром называется распределение амплитуд гармонических составляющих по частоте.

Фазовым спектром называется распределение начальных фаз гармонических составляющих по частоте.

Изображение амплитудного и фазового спектра

Амплитудний спектр

Амплитудный спектр всегда положителен. Фазовый спектр может быть как положительным, так и отрицательным.

Спектр периодических сигналов

Для спектрального представления периодических колебаний используется разложение этих колебаний в тригонометрический ряд Фурье:

- период периодического сигнала.

Спектр периодической последовательности прямоугольных видеоимпульсов

Согласно рисунку функция
является чётной. Тогда в тригонометрической форме записи ряда остаются только косинусоидальные члены, потому что коэффициенты равняются нулю.

Определим величину постоянной составляющей и амплитуды гармоник

- скважность. Таким образом

Амплитудный спектр

П
оскольку основная часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка, то за ширину спектра принимается ширина главного лепестка

Теоретически спектр простирается до бесконечности.

Фазовый спектр

Спектр непериодического сигнала

Рассмотрим непериодический сигнал
, заданный в виде некоторой функции, отличающейся от нуля в промежутке
. Дополним сигнал до периодического как показан на рисунке.

Выделим произвольный отрезок времени T , что включает у себя промежуток , та представим заданий сигнал в виде комплексного ряда Фурье

где
Коэффициенты определяются выражением

Чтобы перейти к одиночному импульсу, нужно перейти к пределу при
.

Если , тогда

В итоге получим

Прямое преобразование

Еличина

называется спектральной плотностью .

Физически спектральная плотность характеризует суммарную амплитуду колебаний единичной области частот спектра сигнала, а величина
характеризует суммарную амплитуду колебаний области частот
.

Спектр непериодического сигнала является сплошным.

Зная спектральную плотность, можно найти форму сигнала

Обратное преобразование Фурье

Аким образом

Свойства спектральной плотности

Между сигналом и его спектром
существует однозначное соответствие, которое выражается рядом свойств.

1. Модуль спектральной плотности является чётной функцией частоты, а аргумент - нечётной:

2. Соотношение между спектрами периодического и непериодического сигналов.

Пусть имеем сигнал и соответствующую ему спектральную плотность
. При следовании импульсов с периодом интервал между соседними гармониками составляет . Амплитуда -ой гармоники соответственно равна

Спектральная плотность непериодического сигнала

Отсюда находим

Вывод. Модуль спектральной плотности непериодического сигнала (одиночного импульса) и огибающая линейчатого спектра периодического сигнала (последовательности импульсов) совпадают по форме и отличаются только масштабом.

3. Свойство линейности. Исходя из того, что преобразование Фурье является линейным, при сложении сигналов
и которые имеют спектры
и
, суммарный сигнал
будет иметь спектр
.

4. Сдвиг сигналов по времени (теорема запаздывания). Сигнал
произвольной формы имеет спектральную плотность
.

При задержке этого сигнала на время t 0 (при сохранении его формы) получим новую функцию
. Определим спектральную плотность сигнала

Введем новую переменную
. Тогда получим

Таким образом, сдвиг по времени функции на приводит к изменению фазовой характеристики спектра на величину
. Модуль спектральной плотности от положения сигнала на временной оси не зависит.

5. Изменение масштаба времени (теорема масштабов) . Сигнал
длительностью  и поддается сжатию по времени. Новый сжатый сигнал

Длительность сигнала
в раз меньше чем и равняется
. Определим спектральную плотность сжатого сигнала

Введем новую переменную
тогда

При временном сжатии сигнала в раз во столько же раз расширяется его спектр.

6
. Сдвиг спектра сигнала (теорема смещения) . Запишем спектральную плотность для произведения сигналов
и
.
.

Таким образом

В
ывод. Умножение функции на колебание
эквивалентно разделению спектра
на две части, которые смещены соответственно на
и
.

Данная теорема позволяет по спектру видеосигнала найти спектр радиосигнала (то есть сигнала с высокочастотным заполнением).

Из рисунка следует, что при значительной частоте заполнения радиоимпульса  0 можно в области положительных частот (отрицательных не существует) пренебречь слагаемым (1/2)( + 0) и определить спектральную плотность по приближённой формуле

7. Распределение энергии в спектре непериодического колебания

Энергия импульса при его прохождении через сопротивление равняется

Равенство Парсеваля

Вывод : квадрат модуля спектральной плотности имеет смысл энергетической плотности, то есть энергии, которая приходится на единицу полосы частот [Дж/Гц].

8. Свёртка сигналов. Пусть сигналам отвечает спектральная плотность
. То есть . Тогда произведению двух спектров
будет отвечать свёртка сигналов :

Спектральные плотности типовых импульсов

1. Экспоненциальный импульс:

Импульс такой формы возникает при грозових разрядах, в системах зажигания автомобилей. Везде, где есть трущиеся контакты.

2. Ступенчатая функция (функция Хевисайда):

Спектр находим из спектра экспоненциального импульса при
:

3. Прямоугольный видеоимпульс:

Воспользуемся формулой

Большая часть энергии импульса сосредоточена в области главного лепестка (более 90%). Потому за ширину спектра принимается ширина главного лепестка в положительной области частот:

4. Спектр единичного импульса (спектр функции Дирака)

Функция Дирака

Функция Дирака представляет собой предел последовательности прямоугольных видеоимпульсов, при условии что площадь
а длительность
.

Физически функция Дирака представляет собой импульс конечной энергии с очень малой длительностью и очень большой амплитудой. С помощью данного импульса описываются кратковременные сильные влияния (удары).

Таким образом

Вывод: спектр единичного импульса является постоянным и простирается до бесконечности.

5. Спектр импульса колокольной формы:

Особенность данного импульса заключается в том, что его форма совпадает с формой спектра.

6. Спектр прямоугольного радиоимпульса:

Для определения спектра воспользуемся

теоремой смещения

Спектральная плотность прямоугольного видеоимпульса

Следовательно

7. Спектр периодической последовательности прямоугольных радиоимпульсов

Для нахождения спектра воспользуемся связью между спектрами одиночного радиоимпульса и периодической последовательности

Некоторые импульсы, используемые в системах специальной связи

8. Спектр треугольного импульса

9. Спектр трапецеидального импульса

Спектральная плотность сигнала

Поскольку трапецеидальный импульс является результатом интегрирования импульса , то его спектральная плотность равна

Отсюда находим модуль спектральной плотности

При
спектральная плотность равна площади трапеции

Качественный вид спектральной плотности на положительных частотах:

Количество боковых лепестков определяется соотношением между и
. Чем меньше , то есть чем круче фронты типульса, тем больше количество боковых лепестков в области от 0 до . В пределе, когда крутизна фронтов стремится к бесконечности
спектр трапеции переходит в спектр прямоугольного импульса.

1
0. Спектр косинус-квадратного импульса

Для определения спектральной плотности воспользуемся преобразованием Лапласа. Для этого введём две функции:
и
.

Пусть
. Тогда в соответствии с теоремой запаздывания

Поскольку косинус-квадратный импульс равен

, то его спектральная плотность

Воспользовавшись формулой

Данному оригиналу соответствует изображение по Лапласу

Полагая
, находим комплексную спектральную плотность

Учитывая, что

Окончательно находим

Модуль спектральной плотности

Это следует из прямого преобразования Фурье.

Качественный вид спектральной плотности будет таким же как и у прямоугольного видеоимпульса. Только уровень боковых лепестков будет существенно ниже.

1
1. Спектр косинусоидального импульса

Определение ширины спектра и длительности импульсов

Поскольку сигнал имеет оганиченную длительность, то теоретически его спектр всегда бесконечен. Поэтому на практике ширину спектра сигнала определяют исходя из области частот, в которой сконцентрирована большая части энергии импульса (90%, 95%, 99%).

В общем случае ширина спектра и длительность импульса определяются из равенства Парсеваля

Ширина спектра
и длительность импульса (предполагается, что импульс начинается с нулевого момента времени) находятся из условий

Величина

Ширина спектра
и скорость убывания боковых лепестков
различных импульсов

Вид импульса, представляющее сумму гармонических колебаний , каждое из которых в отдельности...

Жучков а. Г. Прикосновение к тайне или об основах философии единства

Документ

Полученный сигнал (сигнал воздействия). ... колебаний , где спектр ... которое порождает из самого себя некую активную силу или свойство «Разумного», который иногда называется ... гармонический Союз которых ... из трех совокупностей , каждая из которых состоит из ...

А. В. Ладыгина Григорию Алексеевичу Николаенко посвящается

Документ

Лежат в самом основании, в самом логическом фундаменте всей той сложной совокупности явлений, которую мы называем словом... их как первоначальные, простейшие единицы, из которых состоит языковой сигнал . Правда, в этом случае отчетливо...

Не так давно товарищ Makeman описывал , как с помощью спектрального анализа можно разложить некоторый звуковой сигнал на слагающие его ноты. Давайте немного абстрагируемся от звука и положим, что у нас есть некоторый оцифрованный сигнал, спектральный состав которого мы хотим определить, и достаточно точно.

Под катом краткий обзор метода выделения гармоник из произвольного сигнала с помощью цифрового гетеродинирования, и немного особой, Фурье-магии.

Итак, что имеем.
Файл с отсчетами оцифрованного сигнала. Известно, что сигнал представляет собой сумму синусоид со своими частотами, амплитудами и начальными фазами, и, возможно, белый шум.

Что будем делать.
Использовать спектральный анализ для того, чтобы определить:

количество гармоник в составе сигнала, а для каждой: амплитуду, частоту (далее в контексте числа длин волн на длину сигнала), начальную фазу;
наличие/отсутствие белого шума, а при наличии, его СКО (среднеквадратическое отклонение);
наличие/отсутствие постоянной составляющей сигнала;
всё это оформить в красивенький PDF отчёт с блэкджеком и иллюстрациями.

Будем решать данную задачу на Java.

Матчасть

Как я уже говорил, структура сигнала заведомо известна: это сумма синусоид и какая-то шумовая составляющая. Так сложилось, что для анализа периодических сигналов в инженерной практике широко используют мощный математический аппарат, именуемый в общем «Фурье-анализ» . Давайте кратенько разберём, что же это за зверь такой.

Немного особой, Фурье-магии

Не так давно, в 19 веке, французский математик Жан Батист Жозеф Фурье показал, что любую функцию, удовлетворяющую некоторым условиям (непрерывность во времени, периодичность, удовлетворение условиям Дирихле) можно разложить в ряд, который в дальнейшем получил его имя - ряд Фурье .

В инженерной практике разложение периодических функций в ряд Фурье широко используется, например, в задачах теории цепей: несинусоидальное входное воздействие раскладывают на сумму синусоидальных и рассчитывают необходимые параметры цепей, например, по методу наложения.

Существует несколько возможных вариантов записи коэффициентов ряда Фурье, нам же лишь необходимо знать суть.
Разложение в ряд Фурье позволяет разложить непрерывную функцию в сумму других непрерывных функций. И в общем случае, ряд будет иметь бесконечное количество членов.

Дальнейшим усовершенствованием подхода Фурье является интегральное преобразование его же имени. Преобразование Фурье .
В отличие от ряда Фурье, преобразование Фурье раскладывает функцию не по дискретным частотам (набор частот ряда Фурье, по которым происходит разложение, вообще говоря, дискретный), а по непрерывным.
Давайте взглянем на то, как соотносятся коэффициенты ряда Фурье и результат преобразования Фурье, именуемый, собственно, спектром .
Небольшое отступление: спектр преобразования Фурье - в общем случае, функция комплексная, описывающая комплексные амплитуды соответствующих гармоник. Т.е., значения спектра - это комплексные числа, чьи модули являются амплитудами соответствующих частот, а аргументы - соответствующими начальными фазами. На практике, рассматривают отдельно амплитудный спектр и фазовый спектр .

Рис. 1. Соответствие ряда Фурье и преобразования Фурье на примере амплитудного спектра.

Легко видно, что коэффициенты ряда Фурье являются ни чем иным, как значениями преобразования Фурье в дискретные моменты времени.

Однако, преобразование Фурье сопоставляет непрерывной во времени, бесконечной функции другую, непрерывную по частоте, бесконечную функцию - спектр. Как быть, если у нас нет бесконечной во времени функции, а есть лишь какая-то записанная её дискретная во времени часть? Ответ на этот вопрос даёт дальнейшей развитие преобразования Фурье - дискретное преобразование Фурье (ДПФ) .

Дискретное преобразование Фурье призвано решить проблему необходимости непрерывности и бесконечности во времени сигнала. По сути, мы полагаем, что вырезали какую-то часть бесконечного сигнала, а всю остальную временную область считаем этот сигнал нулевым.

Математически это означает, что, имея исследуемую бесконечную во времени функцию f(t), мы умножаем ее на некоторую оконную функцию w(t), которая обращается в ноль везде, кроме интересующего нас интервала времени.

Если «выходом» классического преобразования Фурье является спектр – функция, то «выходом» дискретного преобразования Фурье является дискретный спектр. И на вход тоже подаются отсчёты дискретного сигнала.

Остальные свойства преобразования Фурье не изменяются: о них можно прочитать в соответствующей литературе.

Нам же нужно лишь знать о Фурье-образе синусоидального сигнала, который мы и будем стараться отыскать в нашем спектре. В общем случае, это пара дельта-функций, симметричная относительно нулевой частоты в частотной области.

Рис. 2. Амплитудный спектр синусоидального сигнала.

Я уже упомянул, что, вообще говоря, мы рассматриваем не исходную функцию, а некоторое её произведение с оконной функцией. Тогда, если спектр исходной функции - F(w), а оконной W(w), то спектром произведения будет такая неприятная операция, как свёртка этих двух спектров (F*W)(w) (Теорема о свёртке).

На практике это означает, что вместо дельта-функции, в спектре мы увидим что-то вроде этого:

Рис. 3. Эффект растекания спектра.

Этот эффект именуют также растеканием спектра (англ. spectral leekage). А шумы, появляющиеся вследствие растекания спектра, соответственно, боковыми лепестками (англ. sidelobes).
Для борьбы с боковыми лепестками применяют другие, непрямоугольные оконные функции. Основной характеристикой «эффективности» оконной функции является уровень боковых лепестков (дБ). Сводная таблица уровней боковых лепестков для некоторых часто используемых оконных функций приведена ниже.

Основной проблемой в нашей задаче является то, что боковые лепестки могут маскировать другие гармоники, лежащие рядом.

Рис. 4. Отдельные спектры гармоник.

Видно, что при сложении приведённых спектров, более слабые гармоники как бы растворятся в более сильной.

Рис. 5. Чётко видна лишь одна гармоника. Нехорошо.

Другой подход к борьбе с растеканием спектра состоит в вычитании из сигнала гармоник, создающих это самое растекание.
То есть, установив амплитуду, частоту и начальную фазу гармоники, можно вычесть её из сигнала, при этом мы уберём и «дельта-функцию», соответствующую ей, а вместе с ней и боковые лепестки, порождаемые ей. Другой вопрос состоит в том, как же точно узнать параметры нужной гармоники. Недостаточно просто взять нужные данные из комплексной амплитуды. Комплексные амплитуды спектра сформированы по целым частотам, однако, ничто не мешает гармонике иметь и дробную частоту. В этом случае, комплексная амплитуда как бы расплывается между двумя соседними частотами, и точную её частоту, как и другие параметры, установить нельзя.

Для установления точной частоты и комплексной амплитуды нужной гармоники, мы воспользуемся приёмом, широко применяемым во многих отраслях инженерной практики – гетеродинирование .

Посмотрим, что получится, если умножить входной сигнал на комплексную гармонику Exp(I*w*t). Спектр сигнала сдвинется на величину w вправо.
Этим свойством мы и воспользуемся, сдвигая спектр нашего сигнала вправо, до тех пор, пока гармоника не станет ещё больше напоминать дельта-функцию (то есть, пока некоторое локальное отношение сигнал/шум не достигнет максимума). Тогда мы и сможем вычислить точную частоту нужной гармоники, как w 0 – w гет, и вычесть её из исходного сигнала для подавления эффекта растекания спектра.
Иллюстрация изменения спектра в зависимости от частоты гетеродина показана ниже.

Рис. 6. Вид амплитудного спектра в зависимости от частоты гетеродина.

Будем повторять описанные процедуры до тех пор, пока не вырежем все присутствующие гармоники, и спектр не будет напоминать нам спектр белого шума.

Затем, надо оценить СКО белого шума. Хитростей здесь нет: можно просто воспользоваться формулой для вычисления СКО:

Автоматизируй это

Пришло время для автоматизации выделения гармоник. Повторим ещё разочек алгоритм:

1. Ищем глобальный пик амплитудного спектра, выше некоторого порога k.
1.1 Если не нашли, заканчиваем
2. Варируя частоту гетеродина, ищем такое значение частоты, при которой будет достигаться максимум некоторого локального отношения сигнал/шум в некоторой окрестности пика
3. При необходимости, округляем значения амплитуды и фазы.
4. Вычитаем из сигнала гармонику с найденной частотой, амплитудой и фазой за вычетом частоты гетеродина.
5. Переходим к пункту 1.

Алгоритм не сложный, и единственный возникающий вопрос - откуда же брать значения порога, выше которого будем искать гармоники?
Для ответа на этот вопрос, следует оценить уровень шума еще до вырезания гармоник.

Построим функцию распределения (привет, мат. cтатистика), где по оси абсцисс будет амплитуда гармоник, а по оси ординат - количество гармоник, не превышающих по амплитуде это самое значение аргумента. Пример такой построенной функции:

Рис. 7. Функция распределения гармоник.

Теперь построим еще и функцию - плотность распределения. Т.е., значения конечных разностей от функции распределения.

Рис. 8. Плотность функции распределения гармоник.

Абсцисса максимума плотности распределения и является амплитудой гармоники, встречающейся в спектре наибольшее число раз. Отойдем от пика вправо на некоторое расстояние, и будем считать абсциссу этой точки оценкой уровня шума в нашем спектре. Вот теперь можно и автоматизировать.

Посмотреть на кусок кода, детектирующий гармоники в составе сигнала

public ArrayList detectHarmonics() { SignalCutter cutter = new SignalCutter(source, new Signal(source)); SynthesizableComplexExponent heterodinParameter = new SynthesizableComplexExponent(); heterodinParameter.setProperty("frequency", 0.0); Signal heterodin = new Signal(source.getLength()); Signal heterodinedSignal = new Signal(cutter.getCurrentSignal()); Spectrum spectrum = new Spectrum(heterodinedSignal); int harmonic; while ((harmonic = spectrum.detectStrongPeak(min)) != -1) { if (cutter.getCuttersCount() > 10) throw new RuntimeException("Unable to analyze signal! Try another parameters."); double heterodinSelected = 0.0; double signalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); for (double heterodinFrequency = -0.5; heterodinFrequency < (0.5 + heterodinAccuracy); heterodinFrequency += heterodinAccuracy) { heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinFrequency); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); double newSignalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); if (newSignalToNoise > signalToNoise) { signalToNoise = newSignalToNoise; heterodinSelected = heterodinFrequency; } } SynthesizableCosine parameter = new SynthesizableCosine(); heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinSelected); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); parameter.setProperty("amplitude", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmonic))); parameter.setProperty("frequency", harmonic - heterodinSelected); parameter.setProperty("phase", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmonic), 1)); cutter.addSignal(parameter); cutter.cutNext(); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()); spectrum.recalc(); } return cutter.getSignalsParameters(); }

Практическая часть

Я не претендую на звание эксперта Java, и представленное решение может быть сомнительным как по части производительности и потреблению памяти, так и в целом философии Java и философии ООП, как бы я ни старался сделать его лучше. Написано было за пару вечеров, как proof of concept. Желающие могут ознакомиться с исходным кодом на

Любой сигнал можно разложить на составляющие. Такое разложение сигнала называется спектральным. При этом сигнал можно представить в виде графика зависимости параметров сигнала от частоты, такая диаграмма называется спектральной или спектром сигнала.

Спектр сигнала — это совокупность простых составляющих сигнала с определенными амплитудами, частотами и начальными фазами.
Между спектром сигнала и его формой существует жесткая взаимосвязь: изменение формы сигнала приводит к изменению его спектра и наоборот, любое изменение спектра сигнала приводит к изменению его формы. Это важно запомнить, поскольку при передаче сигналов в системе передачи, они подвергаются преобразованиям, а значит, происходит преобразование их спектров.

Различают два вида спектральных диаграмм:
— спектральная диаграмма амплитуд;
— спектральная диаграмма фаз.

В спектральной диаграмме амплитуд — отображаются все составляющие со своими амплитудами и частотами.
В спектральной диаграмме фаз — отображаются все составляющие со своими начальными фазами и частотами.
Любой сигнал имеет одну спектральную диаграмму амплитуд и одну спектральную диаграмму фаз, в составе которых может содержаться множество составляющих.

Не зависимо от того, какой спектр (амплитуд или фаз), он изображается в виде множества линий — составляющих. В спектре амплитуд высота спектральной линии равна амплитуде составляющей сигнала, а в спектре фаз — начальной фазе составляющей. Причем: в спектре амплитуд все составляющие имеют положительные значения, а в спектре фаз как положительные, так и отрицательные. Если амплитуда спектральной составляющей имеет отрицательный знак, то в спектре амплитуд она берется по модулю, а в спектре фаз знак составляющей изменяется на противоположный.

Классификация спектров сигналов.
1. По виду спектры бывают дискретными (линейчатыми) или сплошными .
Дискретным является спектр, у которого можно выделить отдельные составляющие.
Сплошным является спектр, у которого нельзя выделить отдельные составляющие, так как они расположены настолько близко, что сливаются друг с другом.
2. По диапазону частот различают спектры ограниченные и неограниченные .
Ограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала (все спектральные составляющие) находятся в ограниченном диапазоне частот (fmax ? ?).
Неограниченным является спектр, у которого вся энергия сигнала находится в неограниченном диапазоне частот (fmax ? ?). На практике такие спектры ограничивают.

Спектральное представление периодических сигналов

1. Гармоническое колебание.
Математическая модель гармонического колебания имеет вид:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Как видно из математической модели, в спектре данного колебания присутствует одна гармоническая составляющая, которая находится на частоте?s. Высота составляющей в спектре амплитуд равна амплитуде колебания Ums, а в спектре фаз — начальной фазе колебания?s. Причем при построении спектра необходимо учитывать связь между временной диаграммой сигнала и спектром амплитуд. Амплитуда составляющей спектра должна по высоте соответствовать амплитуде колебания на временной диаграмме.
Необходимо отметить, что при увеличении частоты сигнала, его составляющая будет удаляться по оси частот от нуля (рисунок 13).

Рисунок 13 - Спектральное представление гармонических колебаний

Как видно из рисунков, спектр гармонического колебания является дискретным и ограниченным.
2. Периодические, негармонические сигналы.
Основной особенностью спектрального представления таких сигналов является наличие в их спектре множества спектральных составляющих. Такие сигналы могут быть описаны рядом Фурье, согласно которому:

т. е. сигнал может быть представлен суммой постоянной составляющей и множества гармонических составляющих.

Преобразуем данный ряд, используя тригонометрическое свойство

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Полагая что x=?k и y=k?ct получим:

Поскольку Umk и?k являются параметрами ряда, то их можно обозначить коэффициентами

Umk sin ? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Тогда ряд примет вид:

Параметры ряда можно определить через коэффициенты ak и bk:

где k=1, 2, 3 …

Амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты могут быть определены через значение сигнала u(t):

Из ряда следует, что если описываемый сигнал является четной функцией f(t)=f(-t), то ряд будет иметь только косинусоидальные составляющие, так как bk=0, если нечетная функция (f(t) ? f(-t)), то рад содержит только синусоидальные составляющие (ak=0).
Рассмотрим спектральное представление периодических, негармонических сигналов на примере периодической последовательности прямоугольных импульсов (ПППИ).
При построении спектра необходимо рассчитать следующие параметры:
а) скважность сигнала:

б) значение постоянной составляющей:

в) частоту первой гармоники спектра, которая равна частоте сигнала:

г) амплитуды гармонических составляющих спектра:

При построении спектра необходимо отметить следующие особенности:
1. Все гармонические составляющие находятся на частотах, кратных частоте первой гармоники (2?1, 3?1, 4?1 и т. д.);
2. Для спектра амплитуд:
а) спектр ПППИ имеет лепестковый характер, т. е. в спектре можно выделить множество «лепестков»;
б) количество гармонических составляющих в лепестке зависит от скважности и равно q — 1;
в) амплитуды гармонических составляющих, находящихся на частотах, кратных скважности, равны нулю;
г) форма спектра обозначается огибающей — пунктирной линией, плавно соединяющей вершины гармонических составляющих;
д) точка, из которой исходит огибающая, равна 2U0 или 2I0.
3. Для спектра фаз:
а) все гармонические составляющие, на частотах, не кратных скважности, имеют одинаковую высоту, равную?/2 (90°);
б) все гармонические составляющие в одном лепестке имеют одинаковый знак, а в соседних противоположный.
в) составляющие на частотах кратных скважности имеют начальную фазу равную нулю.
Спектры ПППИ при скважности q=3 представлены на рисунке 14.
Как видно из диаграмм спектр ПППИ является дискретным и неограниченным. Поэтому за ширину спектра принимают диапазон частот, в пределах которого находится два первых лепестка, т. к. в них содержится около 95% энергии сигнала:

Fs = 2/?и. (26)

Рисунок 14 - Спектральное представление ПППИ: а) временная диаграмма; б) спектральная диаграмма амплитуд; в) спектральная диаграмма фаз

Как видно из формулы ширина спектра ПППИ зависит только от длительности импульса и не зависит от его периода.
3. Непериодические сигналы .
Поскольку в непериодических сигналах нельзя выделить период, т. к. Т??, то рассчитать и построить спектр тем же методом, что и для периодических сигналов нельзя. Однако знать спектр таких сигналов необходимо, т. к. все информационные сигналы являются непериодическими. Для построения спектра непериодического сигнала производят следующую процедуру: сигнал мысленно представляют как периодический с произвольным периодом, ддля которого строят спектр. Затем осуществляют предельный переход устремляя период к бесконечности (Т??) (рисунок 15). При этом частота первой гармоники и, соответственно, расстояние между гармоническими составляющими стремится к нулю (f1=1/Т), поэтому все составляющие сливаются друг с другом и образуют сплошной спектр.

Рисунок 15 - Импульсный сигнал u(t) и его представление периодическим сигналом

Форма спектра непериодических сигналов обозначается огибающей (сплошной линией) (рисунок 16).

Рисунок 16 - Спектральная диаграмма непериодического сигнала

Ряд Фурье, для таких сигналов, также нельзя записать, т. к. в этом случае амплитуда постоянной составляющей и коэффициенты ak и bk равны нулю. В этом случае значение сигнала в любой момент времени также равно нулю, что является не верным. Поэтому для таких сигналов используют преобразования Фурье:

Выражение (27) является обратным преобразованием, а (28) прямым преобразованием Фурье.
Величина S(?) является комплексной спектральной плотностью непериодического сигнала u(t). Она равна:

S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)

где S(?) спектральная плотность амплитуд или амплитудный спектр непериодического сигнала, а?(?) — фазовый спектр непериодического сигнала.
Спектральная плотность амплитуд непериодического сигнала на любой частоте? равна суммарной амплитуде составляющих находящихся в малой полосе?? в окрестностях частоты? пересчитанных на 1 Герц.
Временные диаграммы и спектральные плотности амплитуд для прямоугольного и треугольного импульсов представлены на рисунке 18:

Рисунок 18 - Спектральное представление непериодических сигналов: а) прямоугольный импульс; б) треугольный импульс

Всякий периодический сигнал воздействия f(t) – может быть представлен бесконечной суммой синусоид кратных частот – рядом Фурье:

,
(12)

Периодическая функция времени обладает свойством повторения формы через минимальный промежуток времени T, называемый периодом функции:

Период определяет частоту основной гармоники бесконечной суммы, которой кратны все слагаемые:

Коэффициенты ряда (12) определяются по формулам Фурье:

(13)

Объединение синуса и косинуса одной частоты в выражение (12) дает другую форму ряда Фурье:

(14)

где
,
.

В теории цепей удобнее использовать комплексную форму ряда Фурье:

(15)

здесь комплексная амплитуда к-й гармоник

;

, (16)

где

С учетом выражений (14) и (15) можно получить выражение (17):

(17)

Вещественность
означает, что ряд состоит только из косинусных гармоник, а функция времени является четной.

Амплитудный спектр:

, (18)

число гармоник на интервале между двумя узлами равно отношению
, называемого скважностью импульсов.

На вход ARC - фильтра будем действовать периодическим сигналом прямоугольной формы, имеющего следующие характеристики:

Скважность: S = 3

Амплитуда, В: U = 8

Порядок Фурье: n = 4

Будем исследовать реакцию фильтр при воздействие на него сигнала частотой лежащей в полосе пропускания. Для этого выберем частоту сигнала воздействия
, где
- резонансная частота данного фильтра. Отсюда частота сигнала воздействия
Гц.

1.Суммирование функций и построение графика суммы.

Рассмотрим разложение в усеченный ряд Фурье периодической последовательности импульсов со скважностью s и числом слагаемых N:

Для построения графика суммы воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

2.Амплитудный спектр воздействия.

3.Фазный спектр воздействия.

. Рассчитаем амплитудный и фазный спектры реакции:

В пункте 1.3 были получены амплитудный и фазовый спектры сигнала воздействия. Определим, какова будет реакция исследуемого ARC – фильтра, если на его вход воздействовать периодическим сигналом (см. п.п. 1.3).

1. Амплитудный спектр реакции:

Рис. 6 График амплитудного спектра реакции.

Из графика видно, что при k=2 наблюдается максимальная пропускная способность фильтра. Это обусловлено тем, что   к где   частота основной гармоники.

2. Фазный спектр реакции:

Рис. 8 Фазный спектр реакции.

1.5. Построим график функции времени реакции цепи на заданное воздействие:

По амплитудному и фазному спектрам (см. п.п. 1.3) можно построить соответствующую им функцию времени по формулам (14).

Для построения графика функции времени воспользуемся компьютерной программой MathCAD:

Рис.9. График функции времени.

На Рис. 9 представлены графики сигналов воздействия () и реакции () ARC – фильтра.

1.6. Рассчитаем и построим графики амплитудного и фазного спектров воздействия и реакции, а также временные функции воздействия и реакции с периодом в два раза больше.

В п.п. 1.3. – 1.4 мы исследовали реакцию фильтра при воздействие на него периодическим сигналом, частотой
, где- резонансная частота данногоARC - фильтра. По условию данного пункта примем частоту сигнала воздействия
.