Amplitúdovo-frekvenčné spektrum. Amplitúdové a fázové spektrá periodických signálov Aký je rozdiel medzi amplitúdovým spektrom a fázovým spektrom

vstupný signál

Na nájdenie spektrálnej charakteristiky vstupného signálu Môžete použiť priamu Fourierovu transformáciu priamo. Druhý spôsob riešenia tohto problému je založený na analógii medzi Laplaceovou a Fourierovou transformáciou a spočíva v nahradení obrazu operátora vstupného signálu (10) premennou operátora. p na imaginárnu frekvenciu jw. Výsledkom je, že po jednoduchých transformáciách dostaneme:

Amplitúdové spektrum vstupného signálu
možno nájsť ako modul spektrálnej charakteristiky signálu:

Obrázok 4.4 Frekvenčná charakteristika vstupného signálu

Maximálna hodnota spektrálnej charakteristiky sa dosiahne pri
a predstavuje . Určené úrovňou
šírka spektra signálu je
. Medzi šírkou spektra signálu a jeho trvaním existuje nasledujúci vzťah:
. Pre tento typ signálu dostaneme: . Táto konštanta sa nazýva signálna báza. 100-násobné skrátenie trvania impulzu vedie k rovnakému (100-násobnému) zvýšeniu šírky jeho spektra. Prítomnosť širokého spektra krátkych impulzov umožňuje použiť takéto impulzy na štúdium frekvenčných vlastností rôznych obvodov. V matematickom zmysle je spektrum nesínusového signálu neobmedzené.

Fázové spektrum vstupného signálu je definované ako argument zo vstupnej spektrálnej charakteristiky: .

Obrázok 4.5 Fázové spektrum vstupného signálu

5.3 Stanovenie amplitúdového a fázového spektra

výstupný signál

Amplitúdovo-frekvenčnú charakteristiku výstupného signálu možno získať vynásobením amplitúdovo-frekvenčných charakteristík vstupného signálu
a reťaze
:
.

Graf frekvenčnej odozvy výstupného signálu je na obr. 4.6.

Obrázok 4.6 Frekvenčná charakteristika

vstupný signál

Porovnanie frekvenčnej odozvy
so zodpovedajúcimi vlastnosťami
naznačuje značné skreslenie výstupného tvaru vlny. Skreslenia sú spojené s rozdielmi vo veľkosti prenosovej funkcie pre rôzne zložky spektra vstupného signálu. Pre odporový obvod by bol výstupný signál podobný vstupnému signálu a mal by rovnakú dobu trvania. V tomto prípade obvod obsahujúci frekvenčne závislé prvky bude mať tiež významné zmeny vo fázovom spektre vstupného signálu. To povedie k narušeniu fázových vzťahov medzi zložkami signálu a stane sa ďalším dôvodom skreslenia tvaru výstupného signálu. Skreslenie na obr. 4.6 a obr. 4,7 sa vyslovuje pri frekvencii
, teda rovnakú frekvenciu, aká sa vyskytla vo frekvenčnej odozve funkcie prenosu napätia (obr. 4.1), ktorá určuje charakteristiku tohto obvodu ako paralelného oscilačného obvodu. Analýza prevodu impulzného signálu je založená na myšlienke, že skreslenie hrany výstupného impulzu v porovnaní s tvarom vstupného impulzu závisí od vlastností obvodu pri vysokých frekvenciách (teoreticky pri nekonečne vysokých frekvenciách). Skreslenie tvaru vrcholu impulzu je určené vlastnosťami obvodu pri nízkych frekvenciách. Pomocou podobného prístupu, napríklad na analýzu skreslenia prednej časti vstupného impulzu, „skratujú“ kondenzátory umiestnené na dráhe signálu k záťaži a nahradia indukčné prvky zapojené paralelne s odporovými prvkami obvod s otvoreným obvodom.

Fázové spektrum výstupného signálu možno získať súčtom argumentu spektrálnej charakteristiky a fázovej odozvy obvodu:

Obrázok 4.7 Fázové spektrum výstupného signálu

SPEKTRÁLNA ANALÝZA SIGNÁLOV

V rádiotechnike (komunikácie, navigácia, televízia, radar) sa pri prenose informácií široko používajú signály zložitých tvarov. Na analýzu prechodu takýchto signálov obvodom konajú takto: predstavujú komplexný signál ako súčet harmonických kmitov a pomocou známej metódy (napríklad metódy komplexných amplitúd) analyzujú prechod každého z nich. harmonické cez obvod. V súlade s princípom superpozície sa tvar pôvodného signálu určí ako súčet pôvodných harmonických.

Znázornenie komplexného signálu vo forme harmonických kmitov sa vysvetľuje tým, že harmonický signál je jediný signál, ktorý pri prechode obvodom nemení svoj tvar. Zmení sa len jeho amplitúda a počiatočná fáza, čo značne zjednodušuje analýzu prechodu komplexných signálov.

Spektrum signálu je súbor harmonických kmitov, ktoré tvoria samotný signál.

Presnejšie povedané, existujú dva hlavné typy spektier: amplitúdovo-frekvenčné (amplitúda) a fázovo-frekvenčné (fázové) spektrum.

Amplitúdové spektrum sa nazýva rozdelenie amplitúd harmonických zložiek podľa frekvencie.

Fázové spektrum sa nazýva rozdelenie počiatočných fáz harmonických zložiek podľa frekvencie.

Obraz amplitúdového a fázového spektra

Amplitúdové spektrum

Amplitúdové spektrum je vždy kladné. Fázové spektrum môže byť pozitívne alebo negatívne.

Spektrum periodických signálov

Na spektrálne znázornenie periodických kmitov sa používa rozšírenie týchto kmitov do trigonometrického Fourierovho radu:

- perióda periodického signálu.

Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých obrazových impulzov

Podľa obrázku funkcia
je párny. Potom v trigonometrickej forme zápisu radu zostanú len kosínusové členy, pretože koeficienty sa rovnajú nule.

Určme veľkosť konštantnej zložky a amplitúdu harmonických

- pracovný cyklus. Teda

Amplitúdové spektrum

P
Keďže hlavná časť energie impulzu je sústredená v oblasti hlavného laloka, šírka hlavného laloku sa berie ako šírka spektra

Teoreticky sa spektrum rozširuje do nekonečna.

Fázové spektrum

Spektrum neperiodického signálu

Zvážte neperiodický signál
, špecifikovaná ako nejaká funkcia, ktorá sa v intervale líši od nuly
. Pridajme signál k periodickému, ako je znázornené na obrázku.

Vyberme si ľubovoľné časové obdobie T , ktorý zahŕňa interval, budeme reprezentovať priradenia signálov vo forme komplexného Fourierovho radu

Kde
Odds sú určené výrazom

Ak chcete prejsť na jeden impulz, musíte prejsť na limit pri
.

Ak potom

V dôsledku toho dostaneme

Priama konverzia

Elichina

volal spektrálna hustota .

Fyzikálne spektrálna hustota charakterizuje celkovú amplitúdu oscilácií jedného frekvenčného rozsahu spektra signálu a hodnotu
charakterizuje celkovú amplitúdu kmitov frekvenčného rozsahu
.

Spektrum neperiodického signálu je spojité.

Keď poznáte spektrálnu hustotu, môžete nájsť tvar signálu

Inverzná Fourierova transformácia

Touto cestou

Vlastnosti spektrálnej hustoty

Medzi signálom a jeho spektrom
existuje korešpondencia jedna k jednej, ktorá je vyjadrená množstvom vlastností.

1. Modul spektrálnej hustoty je párnou funkciou frekvencie a argument je nepárny:

2. Vzťah medzi spektrami periodických a neperiodických signálov.

Majme signál a zodpovedajúcu spektrálnu hustotu
. Pri sledovaní pulzov s bodkou interval medzi susednými harmonickými je . Amplitúda Tá harmonická sa zodpovedajúcim spôsobom rovná

Spektrálna hustota neperiodického signálu

Odtiaľto nájdeme

Záver. Modul spektrálnej hustoty neperiodického signálu (jednotlivý impulz) a obálka čiarového spektra periodického signálu (sekvencia impulzov) sa tvarovo zhodujú a líšia sa len mierkou.

3. Vlastnosť linearity. Na základe skutočnosti, že Fourierova transformácia je lineárna pri pridávaní signálov
a ktoré majú spektrá
A
, celkový signál
bude mať spektrum
.

4. Časový posun signálov(teorém o oneskorení). Signál
má spektrálnu hustotu ľubovoľného tvaru
.

Keď je tento signál o nejaký čas oneskorený t 0 (pri zachovaní jej tvaru) dostaneme novú funkciu
. Poďme určiť spektrálnu hustotu signál

Predstavme si novú premennú
. Potom dostaneme

Teda časový posun funkcie o vedie k zmene fázovej charakteristiky spektra o množstvo
. Modul spektrálnej hustoty nezávisí od polohy signálu na časovej osi.

5. Zmena časovej mierky (veta o mierke). Signál
trvanie  a možno ho časovo stlačiť. Nový komprimovaný signál

Trvanie signálu
V krát menej ako a rovná sa
. Určme spektrálnu hustotu komprimovaného signálu

Predstavme si novú premennú
Potom

Keď je signál dočasne komprimovaný, jeho spektrum sa rozšíri o rovnakú hodnotu.

6
.Posun spektra signálu (veta o posune). Zapíšme si spektrálnu hustotu pre súčin signálov
A
.
.

Teda

IN
záver Násobenie funkcie osciláciou
ekvivalentné rozdeleniu spektra
na dve časti, ktoré sú posunuté resp
A
.

Táto veta nám umožňuje nájsť spektrum rádiového signálu (teda signálu s vysokofrekvenčným plnením) zo spektra video signálu.

Z obrázku vyplýva, že pri výraznej frekvencii plnenia rádiového impulzu  0 v oblasti pozitívnych frekvencií (neexistujú žiadne negatívne frekvencie) môžeme zanedbať výraz (1/2) ( + 0) a pomocou približného vzorca určte spektrálnu hustotu

7. Rozloženie energie v spektre neperiodických kmitov

Energia impulzu pri prechode cez odpor sa rovná

Parsevalova rovnosť

Záver: druhá mocnina modulu spektrálnej hustoty má význam hustoty energie, teda energie na jednotku frekvenčného pásma [J/Hz].

8. Konvolúciasignály. Nech spektrálna hustota zodpovedá signálom
. To je . Potom súčin dvoch spektier
konvolúcia signálu bude reagovať:

Spektrálne hustoty typických impulzov

1. Exponenciálny impulz:

Impulz tohto tvaru vzniká pri výbojoch blesku, v zapaľovacích systémoch automobilov. Všade tam, kde sú trecie kontakty.

2. Kroková funkcia (Heaviside funkcia):

Spektrum sa zistí zo spektra exponenciálneho impulzu pri
:

3. Obdĺžnikový obrazový impulz:

Použime vzorec

Väčšina energie pulzu je sústredená v oblasti hlavného laloku (viac ako 90 %). Preto sa šírka hlavného laloku v kladnom frekvenčnom rozsahu berie ako šírka spektra:

4. Spektrum jedného impulzu (spektrum Diracovej funkcie)

Funkcia Dirac

Funkcia Dirac predstavuje limit sekvencie pravouhlých video impulzov za predpokladu, že oblasť
a trvanie
.

Fyzicky je funkcia Dirac impulzom konečnej energie s veľmi krátkym trvaním a veľmi veľkou amplitúdou. Pomocou tohto impulzu sa popisujú krátkodobé silné vplyvy (dopady).

Teda

záver: spektrum jedného impulzu je konštantné a siaha do nekonečna.

5. Spektrum impulzov v tvare zvona:

Zvláštnosťou tohto impulzu je, že jeho tvar sa zhoduje s tvarom spektra.

6. Spektrum pravouhlého rádiového impulzu:

Na určenie spektra, ktoré použijeme

posunová veta

Spektrálna hustota pravouhlého obrazového impulzu

Preto

7. Spektrum periodickej sekvencie pravouhlých rádiových impulzov

Na nájdenie spektra používame vzťah medzi spektrami jedného rádiového impulzu a periodickej sekvencie

Niektoré impulzy používané v špeciálnych komunikačných systémoch

8. Spektrum trojuholníkového impulzu

9. Spektrum lichobežníkového impulzu

Spektrálna hustota signálu

Keďže lichobežníkový impulz je výsledkom integrácie impulzov, jeho spektrálna hustota je rovná

Odtiaľ nájdeme modul spektrálnej hustoty

O
spektrálna hustota rovná ploche lichobežníka

Kvalitatívny pohľad na spektrálnu hustotu pri kladných frekvenciách:

Počet bočných lalokov je určený pomerom medzi A
. Čím menšie, teda strmšie sú predné časti hrotu, tým väčší je počet bočných lalokov v oblasti od 0 do . V limite, kedy strmosť čiel smeruje k nekonečnu
spektrum lichobežníka sa transformuje na spektrum pravouhlého impulzu.

1
0. Spektrum kosínusového štvorca impulzu

Na určenie spektrálnej hustoty používame Laplaceovu transformáciu. Na tento účel uvádzame dve funkcie:
A
.

Nechaj
. Potom v súlade s teorémom oneskorenia

Keďže kosínusová štvorcová hybnosť je

, potom jeho spektrálna hustota

Pomocou vzorca

Tento originál zodpovedá obrazu Laplace

Veriaci
, nájdeme komplexnú spektrálnu hustotu

Zvažujem to

Konečne nachádzame

Modul spektrálnej hustoty

Vyplýva to z priamej Fourierovej transformácie.

Kvalitatívny vzhľad spektrálnej hustoty bude rovnaký ako v prípade pravouhlého obrazového impulzu. Len úroveň bočných lalokov bude výrazne nižšia.

1
1. Spektrum kosínusového impulzu

Stanovenie šírky spektra a trvania impulzu

Keďže signál má obmedzené trvanie, teoreticky je jeho spektrum vždy nekonečné. Preto sa v praxi šírka spektra signálu určuje na základe frekvenčnej oblasti, v ktorej je sústredená väčšina energie impulzu (90 %, 95 %, 99 %).

Vo všeobecnom prípade sa šírka spektra a trvanie impulzu určujú z Parsevalovej rovnosti

Šírka spektra
a trvanie pulzu (predpokladá sa, že impulz začína od nulového času) sú zistené z podmienok

Rozsah

Šírka spektra
a rýchlosť poklesu bočných lalokov
rôzne impulzy

Typ impulzu predstavujúci súčet harmonický výkyvy, každý od ktoré oddelene...

Žučkov A. D. Dotknutie sa tajomstva alebo základov filozofie jednoty

Dokument

Prijaté signál (signál vplyv). ... výkyvy, Kde rozsah ... ktoré generuje od sám ako určitá aktívna sila alebo vlastnosť „rozumného“, ktoré Niekedy volal ... harmonickýúnie ktoré ... od tri agregáty, každý od ktoré pozostáva z od ...

A. V. Ladygina je venovaná Grigorijovi Alekseevičovi Nikolaenkovi

Dokument

ľahnúť si sám základ, v sám logický základ celého tohto komplexu totality javy, ktoré my voláme jedným slovom... ako pôvodné, najjednoduchšie jednotky, od ktoré pozostáva z Jazyk signál. Pravda, v tomto prípade je to jasné...

Nie je to tak dávno, čo súdruh Makeman opísal, ako pomocou spektrálnej analýzy môžete rozložiť určitý zvukový signál na jeho základné noty. Trochu abstrahujme od zvuku a predpokladajme, že máme nejaký digitalizovaný signál, ktorého spektrálne zloženie chceme celkom presne určiť.

Pod rezom je stručný prehľad metódy extrakcie harmonických z ľubovoľného signálu pomocou digitálnej heterodyny a trochu špeciálnej Fourierovej mágie.

Takže, čo máme?
Súbor so vzorkami digitalizovaného signálu. Je známe, že signál je súčtom sínusoidov s vlastnými frekvenciami, amplitúdami a počiatočnými fázami a možno aj bielym šumom.

Čo urobíme.
Použite spektrálnu analýzu na určenie:

počet harmonických v signáli a pre každú: amplitúdu, frekvenciu (ďalej v kontexte počtu vlnových dĺžok na dĺžku signálu), počiatočnú fázu;
prítomnosť/neprítomnosť bieleho šumu a ak je prítomný, jeho štandardná odchýlka (štandardná odchýlka);
prítomnosť/neprítomnosť konštantnej zložky signálu;
dajte to všetko do krásnej PDF správy s blackjackom a ilustráciami.

Tento problém vyriešime v Jave.

Materiál

Ako som už povedal, štruktúra signálu je známa: je to súčet sínusoidov a nejakého druhu šumovej zložky. Tak sa stalo, že na analýzu periodických signálov v inžinierskej praxi vo veľkej miere využívajú výkonný matematický aparát, všeobecne označovaný ako "Fourierova analýza" . Poďme sa rýchlo pozrieť na to, čo je to za zviera.

Trochu špeciálne, Fourierova mágia

Nie je to tak dávno, v 19. storočí, francúzsky matematik Jean Baptiste Joseph Fourier ukázal, že každá funkcia, ktorá spĺňa určité podmienky (kontinuita v čase, periodicita, splnenie Dirichletových podmienok), môže byť rozšírená do série, ktorá neskôr dostala jeho meno - Fourierov rad .

V inžinierskej praxi je rozšírenie periodických funkcií do Fourierovho radu široko využívané, napríklad pri úlohách teórie obvodov: nesínusový vstupný efekt sa rozšíri na súčet sínusových a potrebné parametre obvodu sa vypočítajú napr. metóda superpozície.

Možností zápisu koeficientov Fourierovho radu je viacero, ale potrebujeme poznať len podstatu.
Rozšírenie Fourierovho radu umožňuje rozšíriť spojitú funkciu na súčet ďalších spojitých funkcií. A vôbec, séria bude mať nekonečný počet termínov.

Ďalším vylepšením Fourierovho prístupu je integrálna transformácia jeho názvu. Fourierova transformácia .
Na rozdiel od Fourierovho radu Fourierova transformácia nerozširuje funkciu na diskrétne frekvencie (súbor frekvencií Fourierovho radu, pre ktoré je expanzia, všeobecne povedané, diskrétna), ale na spojité.
Pozrime sa, ako súvisia koeficienty Fourierovho radu s výsledkom Fourierovej transformácie, ktorá sa v skutočnosti nazýva spektrum .
Malá odbočka: spektrum Fourierovej transformácie je vo všeobecnosti komplexná funkcia, ktorá opisuje komplexné amplitúdy zodpovedajúce harmonické. To znamená, že hodnoty spektra sú komplexné čísla, ktorých moduly sú amplitúdy zodpovedajúcich frekvencií a argumenty sú zodpovedajúce počiatočné fázy. V praxi sa posudzujú oddelene amplitúdové spektrum A fázové spektrum .

Ryža. 1. Korešpondencia medzi Fourierovým radom a Fourierovou transformáciou s použitím amplitúdového spektra ako príkladu.

Je ľahké vidieť, že koeficienty Fourierovej série nie sú nič iné ako hodnoty Fourierovej transformácie v diskrétnych časoch.

Fourierova transformácia však porovnáva časovo spojitú, nekonečnú funkciu s inou, frekvenčne spojitou, nekonečnou funkciou – spektrom. Čo ak nemáme funkciu, ktorá je nekonečná v čase, ale iba nejakú jej časť, ktorá je zaznamenaná a diskrétna v čase? Odpoveď na túto otázku dáva ďalší vývoj Fourierovej transformácie - diskrétna Fourierova transformácia (DFT) .

Diskrétna Fourierova transformácia je navrhnutá tak, aby vyriešila problém potreby spojitosti a nekonečna v čase signálu. V podstate veríme, že sme vystrihli určitú časť nekonečného signálu a zvyšok časovej oblasti považujeme tento signál za nulový.

Matematicky to znamená, že keď máme funkciu f(t), ktorá je v čase nekonečná, vynásobíme ju nejakou funkciou okna w(t), ktorá zmizne všade okrem časového intervalu, ktorý nás zaujíma.

Ak je „výstupom“ klasickej Fourierovej transformácie spektrum – funkcia, potom „výstupom“ diskrétnej Fourierovej transformácie je diskrétne spektrum. A na vstup sú dodávané aj vzorky diskrétneho signálu.

Zvyšné vlastnosti Fourierovej transformácie sa nemenia: môžete si o nich prečítať v príslušnej literatúre.

Potrebujeme vedieť len o Fourierovej transformácii sínusového signálu, ktorú sa pokúsime nájsť v našom spektre. Vo všeobecnosti ide o pár delta funkcií, ktoré sú symetrické okolo nulovej frekvencie vo frekvenčnej oblasti.

Ryža. 2. Amplitúdové spektrum sínusového signálu.

Už som spomenul, že vo všeobecnosti neuvažujeme o pôvodnej funkcii, ale o nejakom jej súčine s funkciou okna. Potom, ak je spektrum pôvodnej funkcie F(w) a funkcia okna je W(w), potom spektrum produktu bude taká nepríjemná operácia, ako je konvolúcia týchto dvoch spektier (F*W)( w) (Konvolučný teorém).

V praxi to znamená, že namiesto delta funkcie uvidíme v spektre niečo takéto:

Ryža. 3. Efekt šírenia spektra.

Tento efekt sa nazýva aj šírenie spektra (angl. spektrálny únik). A hluk, ktorý sa objavuje v dôsledku šírenia spektra, podľa toho bočné laloky (anglické bočné laloky).
Na boj proti bočným lalokom sa používajú iné, neobdĺžnikové funkcie okien. Hlavnou charakteristikou "efektívnosti" funkcie okna je úroveň bočného laloku (dB). Súhrnná tabuľka úrovní bočných lalokov pre niektoré bežne používané funkcie okna je uvedená nižšie.

Hlavným problémom nášho problému je, že bočné laloky môžu maskovať iné harmonické, ktoré sa nachádzajú v blízkosti.

Ryža. 4. Samostatné harmonické spektrá.

Je vidieť, že pri sčítaní daných spektier sa slabšie harmonické akoby rozplynú v silnejšom.

Ryža. 5. Jasne viditeľná je len jedna harmonická. Nie dobré.

Ďalším prístupom k boju proti šíreniu spektra je odpočítať od signálu harmonické, ktoré vytvárajú toto šírenie.
To znamená, že keď stanovíme amplitúdu, frekvenciu a počiatočnú fázu harmonickej, môžeme ju od signálu odčítať, pričom zároveň odstránime zodpovedajúcu „funkciu delta“ a spolu s ňou aj ňou generované bočné laloky. Ďalšou otázkou je, ako presne zistiť parametre požadovanej harmonickej. Nestačí jednoducho vziať požadované údaje z komplexnej amplitúdy. Komplexné amplitúdy spektra sa tvoria na celých frekvenciách, avšak nič nebráni tomu, aby harmonická mala zlomkovú frekvenciu. V tomto prípade sa zdá, že komplexná amplitúda sa rozmazáva medzi dvoma susednými frekvenciami a jej presnú frekvenciu, podobne ako ostatné parametre, nemožno určiť.

Na stanovenie presnej frekvencie a komplexnej amplitúdy požadovanej harmonickej použijeme techniku široko používanú v mnohých odvetviach inžinierskej praxe - heterodynizácia .

Pozrime sa, čo sa stane, ak vynásobíme vstupný signál komplexnou harmonickou Exp(I*w*t). Spektrum signálu sa posunie o hodnotu w doprava.
Túto vlastnosť využijeme tak, že budeme posúvať spektrum nášho signálu doprava, kým harmonická nezačne ešte viac pripomínať funkciu delta (teda kým nejaký lokálny pomer signálu k šumu nedosiahne maximum). Potom budeme schopní vypočítať presnú frekvenciu požadovanej harmonickej, ako w 0 – w het, a odčítať ju od pôvodného signálu, aby sme potlačili efekt šírenia spektra.
Ilustrácia variácie spektra v závislosti od frekvencie lokálneho oscilátora je uvedená nižšie.

Ryža. 6. Typ amplitúdového spektra v závislosti od frekvencie lokálneho oscilátora.

Popísané postupy budeme opakovať, kým nevystrihneme všetky prítomné harmonické a spektrum nám nebude pripomínať spektrum bieleho šumu.

Potom musíme odhadnúť smerodajnú odchýlku bieleho šumu. Nie sú tu žiadne triky: na výpočet štandardnej odchýlky môžete jednoducho použiť vzorec:

Automatizujte to

Je čas zautomatizovať harmonickú extrakciu. Zopakujme si algoritmus ešte raz:

1. Hľadáme globálny vrchol v amplitúdovom spektre, nad určitou hranicou k.
1.1 Ak ste to nenašli, poďme do konca
2. Zmenou frekvencie lokálneho oscilátora hľadáme hodnotu frekvencie, pri ktorej sa dosiahne maximum určitého lokálneho pomeru signálu k šumu v určitej blízkosti vrcholu.
3. V prípade potreby zaokrúhlite hodnoty amplitúdy a fázy.
4. Odpočítajte od signálu harmonickú s zistenou frekvenciou, amplitúdou a fázou mínus frekvencia lokálneho oscilátora.
5. Prejdite na bod 1.

Algoritmus nie je zložitý a vyvstáva jediná otázka, kde získať prahové hodnoty, nad ktorými budeme hľadať harmonické?
Na zodpovedanie tejto otázky je potrebné posúdiť hladinu hluku pred odstránením harmonických.

Zostrojme distribučnú funkciu (ahoj, matematická štatistika), kde os x bude amplitúda harmonických a os ordinát bude počet harmonických, ktoré svojou amplitúdou neprekročia práve túto hodnotu argumentu. Príklad takejto skonštruovanej funkcie:

Ryža. 7. Harmonická distribučná funkcia.

Teraz zostrojíme aj funkciu – hustotu rozloženia. To znamená hodnoty konečných rozdielov od distribučnej funkcie.

Ryža. 8. Hustota harmonickej distribučnej funkcie.

Úsečka maximálnej hustoty distribúcie je amplitúda harmonickej, ktorá sa v spektre vyskytuje najviackrát. Posuňme sa o určitú vzdialenosť od vrcholu doprava a úsečku tohto bodu považujme za odhad hladiny šumu v našom spektre. Teraz to môžete automatizovať.

Pozrite sa na kúsok kódu, ktorý detekuje harmonické v signáli

verejný ArrayList detectHarmonics() ( SignalCutter cutter = nový SignalCutter(zdroj, nový Signal(zdroj)); SynthesizableComplexExponent heterodinParameter = new SynthesizableComplexExponent(); heterodinParameter.setProperty("frekvencia", 0,0); Signal heterodin = nový Signal(source.getLength())) ; spektrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); -0,5;< (0.5 + heterodinAccuracy); heterodinFrequency += heterodinAccuracy) { heterodinParameter.setProperty("frequency", heterodinFrequency); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spectrum.recalc(); double newSignalToNoise = spectrum.getRealAmplitude(harmonic) / spectrum.getAverageAmplitudeIn(harmonic, windowSize); if (newSignalToNoise >signalToNoise) ( signalToNoise = newSignalToNoise; heterodinSelected = heterodinFrequency; ) ) Parameter SynthesizableCosine = new SynthesizableCosine(); heterodinParameter.setProperty("frekvencia", heterodinSelected); heterodinParameter.synthesizeIn(heterodin); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()).multiply(heterodin); spektrum.recalc(); parameter.setProperty("amplitúda", MathHelper.adaptiveRound(spectrum.getRealAmplitude(harmonic))); parameter.setProperty("frekvencia", harmonická - heterodinVybrané); parameter.setProperty("fáza", MathHelper.round(spectrum.getPhase(harmonic), 1)); cutter.addSignal(parameter); cutter.cutNext(); heterodinedSignal.set(cutter.getCurrentSignal()); spektrum.recalc(); ) return cutter.getSignalsParameters(); )

Praktická časť

Netvrdím, že som odborník na Javu a prezentované riešenie môže byť otázne ako z hľadiska výkonu a spotreby pamäte, tak aj všeobecne filozofie Java a filozofie OOP, bez ohľadu na to, ako veľmi sa ho snažím vylepšiť. Bol napísaný za pár večerov ako dôkaz konceptu. Záujemcovia si môžu pozrieť zdrojový kód na

Akýkoľvek signál je možné rozložiť na komponenty. Tento rozklad signálu sa nazýva spektrálny. V tomto prípade môže byť signál znázornený ako graf závislosti parametrov signálu od frekvencie, takýto diagram sa nazýva spektrálny diagram alebo spektrum signálu.

Spektrum signálu je súbor jednoduchých zložiek signálu s určitými amplitúdami, frekvenciami a počiatočnými fázami.
Medzi spektrom signálu a jeho tvarom existuje striktný vzťah: zmena tvaru signálu vedie k zmene jeho spektra a naopak, akákoľvek zmena spektra signálu vedie k zmene jeho tvaru. Toto je dôležité si zapamätať, pretože pri prenose signálov v prenosovom systéme prechádzajú transformáciami, čo znamená, že ich spektrá sú transformované.

Existujú dva typy spektrálnych diagramov:
— spektrálny diagram amplitúd;
— spektrálny fázový diagram.

V amplitúdovom spektrálnom diagrame sú všetky zložky zobrazené s ich amplitúdami a frekvenciami.
V spektrálnom fázovom diagrame sú všetky zložky zobrazené s ich počiatočnými fázami a frekvenciami.
Každý signál má jeden spektrálny amplitúdový diagram a jeden spektrálny fázový diagram, ktorý môže obsahovať veľa komponentov.

Bez ohľadu na to, aké je spektrum (amplitúdy alebo fázy), je zobrazené vo forme mnohých čiar - komponentov. V amplitúdovom spektre sa výška spektrálnej čiary rovná amplitúde zložky signálu a vo fázovom spektre sa rovná počiatočnej fáze zložky. Navyše: v amplitúdovom spektre majú všetky zložky kladné hodnoty a vo fázovom spektre kladné aj záporné hodnoty. Ak má amplitúda spektrálnej zložky záporné znamienko, potom sa v amplitúdovom spektre berie modulo a vo fázovom spektre sa znamienko zložky mení na opak.

Klasifikácia signálových spektier.
1. Spektrá sa líšia typom diskrétne(vládol) resp pevný.
Diskrétne spektrum je také, v ktorom možno rozlíšiť jednotlivé zložky.
Spektrum je spojité, v ktorom nie je možné rozlíšiť jednotlivé zložky, pretože sú umiestnené tak blízko, že navzájom splývajú.
2. Podľa frekvenčného rozsahu rozlíšiť spektrá obmedzené A neobmedzené.
Obmedzené spektrum je také, v ktorom je všetka energia signálu (všetky spektrálne zložky) v obmedzenom frekvenčnom rozsahu (fmax ? ?).
Neobmedzené spektrum je také, v ktorom je všetka energia signálu v neobmedzenom frekvenčnom rozsahu (fmax ? ?). V praxi sú takéto spektrá limitujúce.

Spektrálna reprezentácia periodických signálov

1. Harmonické kmitanie.
Matematický model harmonického kmitania má tvar:

u(t)=Ums sin (?st+?s) (11)

Ako je zrejmé z matematického modelu, spektrum tejto vibrácie obsahuje jednu harmonickú zložku, ktorá sa nachádza na frekvencii s. Výška zložky v amplitúdovom spektre sa rovná amplitúde vibrácií Ums a vo fázovom spektre - počiatočnej fáze vibrácií. Navyše pri konštrukcii spektra je potrebné brať do úvahy súvislosť medzi časovým diagramom signálu a amplitúdovým spektrom. Amplitúda zložky spektra musí výškovo zodpovedať amplitúde kmitania na časovom diagrame.
Treba poznamenať, že keď sa frekvencia signálu zvyšuje, jeho zložka sa bude pohybovať pozdĺž frekvenčnej osi od nuly (obrázok 13).

Obrázok 13 - Spektrálne znázornenie harmonických kmitov

Ako je zrejmé z obrázkov, spektrum harmonických vibrácií je diskrétne a obmedzené.
2. Periodické, neharmonické signály.
Hlavnou črtou spektrálnej reprezentácie takýchto signálov je prítomnosť mnohých spektrálnych zložiek v ich spektre. Takéto signály možno opísať pomocou Fourierovho radu, podľa ktorého:

to znamená, že signál môže byť reprezentovaný súčtom konštantnej zložky a mnohých harmonických zložiek.

Transformujme tento rad pomocou trigonometrickej vlastnosti

sin(x+y) = sin x cos y + cos x sin y (13)

Za predpokladu, že x=?k a y=k?ct dostaneme:

Keďže Umk a?k sú parametre radu, možno ich označiť koeficientmi

Hm, hriech? k = ak; Umk cos ?k = bk (15)

Potom bude séria vyzerať takto:

Parametre série je možné určiť pomocou koeficientov ak a bk:

kde k = 1, 2, 3…

Amplitúdu jednosmernej zložky a koeficientov možno určiť pomocou hodnoty signálu u(t):

Z radu vyplýva, že ak je opísaný signál párnou funkciou f(t)=f(-t), potom rad bude mať len kosínusové zložky, keďže bk=0, ak je funkcia nepárna (f(t) ? f(-t) ), potom rad obsahuje iba sínusové zložky (ak=0).
Uvažujme o spektrálnej reprezentácii periodických, neharmonických signálov na príklade periodickej sekvencie pravouhlých impulzov (PPPS).
Pri konštrukcii spektra je potrebné vypočítať nasledujúce parametre:
a) pracovný cyklus signálu:

b) hodnota konštantnej zložky:

c) frekvencia prvej harmonickej spektra, ktorá sa rovná frekvencii signálu:

d) amplitúdy harmonických zložiek spektra:

Pri konštrukcii spektra je potrebné vziať do úvahy nasledujúce vlastnosti:
1. Všetky harmonické zložky sú na frekvenciách, ktoré sú násobkami prvej harmonickej frekvencie (2?1, 3?1, 4?1, atď.);
2. Pre amplitúdové spektrum:
a) spektrum SATR má lalokový charakter, t.j. v spektre je možné rozlíšiť veľa „lalokov“;
b) počet harmonických zložiek v laloku závisí od pracovného cyklu a je rovný q - 1;
c) amplitúdy harmonických zložiek nachádzajúcich sa na frekvenciách, ktoré sú násobkami pracovného cyklu, sú rovné nule;
d) tvar spektra je naznačený obálkou - bodkovaná čiara plynulo spájajúca vrcholy harmonických zložiek;
e) bod, z ktorého vychádza obal, je 2U0 alebo 2I0.
3. Pre fázové spektrum:
a) všetky harmonické zložky pri frekvenciách, ktoré nie sú násobkami pracovného cyklu, majú rovnakú výšku, rovnajúcu sa?/2 (90°);
b) všetky harmonické zložky v jednom okvetnom lístku majú rovnaké znamienko a v susedných majú opačné znamienko.
c) komponenty pri frekvenciách, ktoré sú násobkami pracovného cyklu, majú počiatočnú fázu rovnú nule.
Spektrá SATR s pracovným cyklom q=3 sú uvedené na obrázku 14.
Ako je zrejmé z diagramov, spektrum AEFI je diskrétne a neobmedzené. Preto sa frekvenčný rozsah, v ktorom sa nachádzajú prvé dva laloky, berie ako šírka spektra, pretože obsahujú asi 95 % energie signálu:

Fs = 2/?i. (26)

Obrázok 14 - Spektrálne znázornenie SAI: a) časový diagram; b) spektrálny diagram amplitúd; c) spektrálny fázový diagram

Ako je zrejmé zo vzorca, šírka spektra SATR závisí len od trvania impulzu a nezávisí od jeho periódy.
3. Neperiodické signály.
Pretože nie je možné rozlíšiť periódu v neperiodických signáloch, pretože T2, nie je možné vypočítať a zostrojiť spektrum pomocou rovnakej metódy ako pre periodické signály. Je však potrebné poznať spektrum takýchto signálov, keďže všetky informačné signály sú neperiodické. Na zostrojenie spektra neperiodického signálu sa vykoná nasledovný postup: signál je mentálne reprezentovaný ako periodický s ľubovoľnou periódou, pre ktorú je spektrum konštruované. Potom sa uskutoční limitný prechod, pričom sa perióda nasmeruje do nekonečna (T??) (obrázok 15). V tomto prípade má frekvencia prvej harmonickej a podľa toho aj vzdialenosť medzi harmonickými zložkami tendenciu k nule (f1 = 1/T), takže všetky zložky navzájom splývajú a tvoria súvislé spektrum.

Obrázok 15 - Pulzný signál u(t) a jeho znázornenie ako periodický signál

Tvar spektra neperiodických signálov je označený obálkou (plná čiara) (obrázok 16).

Obrázok 16 - Spektrálny diagram neperiodického signálu

Fourierov rad pre takéto signály tiež nemožno zapísať, pretože v tomto prípade sa amplitúda konštantnej zložky a koeficienty ak a bk rovnajú nule. V tomto prípade je hodnota signálu v každom okamihu tiež nulová, čo nie je pravda. Preto sa pre tieto signály používajú Fourierove transformácie:

Výraz (27) je inverzná transformácia a (28) priama Fourierova transformácia.
Veličina S(?) je komplexná spektrálna hustota neperiodického signálu u(t). Rovná sa:

S(?) = S(?)e ^(-j?(?)) (29)

kde S(a) je spektrálna hustota amplitúd alebo amplitúdové spektrum neperiodického signálu a a(a) je fázové spektrum neperiodického signálu.
Spektrálna hustota amplitúd neperiodického signálu pri akejkoľvek frekvencii? rovná celkovej amplitúde komponentov nachádzajúcich sa v malom pásme?? v blízkosti frekvencie? prevedené na 1 Hertz.
Časové diagramy a amplitúdové spektrálne hustoty pre pravouhlé a trojuholníkové impulzy sú uvedené na obrázku 18:

Obrázok 18 - Spektrálne znázornenie neperiodických signálov: a) pravouhlý impulz; b) trojuholníkový impulz

Akýkoľvek periodický nárazový signál f(t) môže byť reprezentovaný nekonečným súčtom sínusoidov viacerých frekvencií - Fourierovým radom:

,
(12)

Periodická funkcia času má tú vlastnosť, že opakuje svoj tvar po minimálnom čase T, ktorý sa nazýva perióda funkcie:

Perióda určuje frekvenciu základnej harmonickej nekonečnej sumy, ktorej všetky členy sú násobky:

Koeficienty série (12) sa určujú pomocou Fourierových vzorcov:

(13)

Spojenie sínusu a kosínusu jednej frekvencie do výrazu (12) dáva ďalšiu formu Fourierovho radu:

(14)

Kde
,
.

V teórii obvodov je vhodnejšie použiť komplexnú formu Fourierovho radu:

(15)

tu je komplexná amplitúda k-tých harmonických

;

, (16)

Kde

Ak vezmeme do úvahy výrazy (14) a (15), môžeme získať výraz (17):

(17)

Podstatnosť
znamená, že séria pozostáva iba z kosínusových harmonických a časová funkcia je párna.

Amplitúdové spektrum:

, (18)

počet harmonických v intervale medzi dvoma uzlami sa rovná pomeru
, nazývaný pracovný cyklus impulzov.

Na vstup filtra ARC budeme pôsobiť periodickým pravouhlým signálom s nasledujúcimi charakteristikami:

Faktor zaťaženia: S = 3

Amplitúda, V: U = 8

Fourierov poriadok: n = 4

Budeme skúmať reakciu filtra, keď je vystavený signálu s frekvenciou ležiacou v priepustnom pásme. Za týmto účelom vyberte frekvenciu signálu nárazu
, Kde
- rezonančná frekvencia tohto filtra. Preto frekvencia signálu nárazu
Hz

1. Sčítanie funkcií a vykreslenie grafu súčtu.

Uvažujme rozšírenie periodickej sekvencie impulzov s pracovným cyklom s a počtom členov N do skráteného Fourierovho radu:

Na zostavenie grafu súčtu použijeme počítačový program MathCAD:

2. Amplitúdové spektrum vplyvu.

3.Fázové spektrum vplyvu.

. Vypočítajme spektrá amplitúdy a fázy odozvy:

V odseku 1.3 sa získali amplitúdové a fázové spektrá signálu nárazu. Určme, aká bude reakcia skúmaného ARC filtra, ak je jeho vstup ovplyvnený periodickým signálom (pozri odsek 1.3).

1. Amplitúdové spektrum reakcie:

Ryža. 6 Graf amplitúdového spektra odozvy.

Graf ukazuje, že pri k=2 sa pozoruje maximálna priepustnosť filtra. Je to spôsobené tým, že   к kde   frekvencia základnej harmonickej.

2. Spektrum fázovej odozvy:

Ryža. 8 Spektrum fázovej odozvy.

1.5. Nakreslite funkciu reakčného času obvodu na daný náraz:

Pomocou amplitúdových a fázových spektier (pozri odsek 1.3) môžete zostrojiť zodpovedajúcu časovú funkciu pomocou vzorcov (14).

Na vykreslenie grafu časovej funkcie použijeme počítačový program MathCAD:

Obr.9. Graf funkcie času.

Na obr. Obrázok 9 zobrazuje grafy signálov nárazu () a odozvy () ARC filtra.

1.6. Vypočítame a vykreslíme grafy amplitúdových a fázových spektier dopadu a odozvy, ako aj časové funkcie dopadu a odozvy s periódou dvakrát dlhšou.

V pp. 1.3. – 1.4 sme študovali odozvu filtra pri vystavení periodickému signálu, frekvencii
, Kde - rezonančná frekvencia tohto ARC filtra. Podľa podmienok tohto odseku akceptujeme frekvenciu nárazového signálu
.