Barqarorlik tushunchasi
Boshqarish tizimining barqarorligi tushunchasi uni ushbu holatdan olib chiqqan tashqi kuchlar yo'qolganidan keyin muvozanat holatiga qaytish qobiliyati bilan bog'liq.
Barqarorlik - bu har qanday ta'sir natijasida tizimdan har qanday chiqib ketgandan so'ng uning dastlabki yoki unga yaqin barqaror holatiga qaytish xususiyati.
Ushbu ta'rifdan kelib chiqadiki, barqarorlik vaqtinchalik jarayonlarning tabiati va o'tish jarayoni tugagandan keyin tizimning holati bilan bog'liq, ya'ni. tizimning asosiy dinamik xarakteristikasi hisoblanadi. Shuning uchun avtomatik boshqaruv tizimlarining barqarorligini tahlil qilish avtomatik boshqarish nazariyasining asosiy muammosidir.
O'tish jarayonining tabiatiga qarab, bezovta qiluvchi ta'sirni qo'llashdan keyin tizim xatti-harakatlarining uchta asosiy holati mavjud:
1) tizim o'zining muvozanat holatini tiklay olmaydi, boshqariladigan o'zgaruvchining qiymati ko'rsatilganidan tobora ko'proq chetga chiqadi (6.1-rasm, a); bunday jarayon divergent, tizim esa beqaror deb ataladi;
2) tizim muvozanat holatiga qaytadi, boshqariladigan o'zgaruvchining qiymati belgilangan qiymatdan tizimning statik xatosi miqdori bilan farq qiladi; bunday o'tish jarayoni konvergent bo'ladi va tizim barqaror bo'ladi (6.1-rasm, b);
3) sistema barqaror davriy harakat bilan tavsiflanadi; bunday jarayon susaytirilmagan tebranish deb ataladi va tizim asimptotik barqarorlik chegarasida bo'ladi (6.1-rasm, v).
Shakl 6.1 Buzilish qo'llanilgandan keyin tizimning xatti-harakati
Keling, tizimning barqarorligi nimaga bog'liqligini va u qanday aniqlanganligini ko'rib chiqaylik. Chiziqli tizimning dinamikasi doimiy koeffitsientli chiziqli differensial tenglama bilan tavsiflansin:
Bunday chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamaning yechimi umumiy holatda ikkita komponentdan iborat:
, (6.2)
y og'iz (t)- o'tish jarayonining oxirida o'rnatilgan tizimning majburiy rejimini tavsiflovchi o'ng tomoni bilan bir hil bo'lmagan tenglamaning (6.1) ma'lum bir yechimi; Biz oldingi paragrafda bunday rejimlarni muhokama qildik;
y p (t)- berilgan buzilish natijasida yuzaga kelgan tizimdagi vaqtinchalik jarayonni tavsiflovchi bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi.
Agar o'tkinchi jarayonlar bo'lsa, tizim barqaror bo'lishi aniq y p (t), har qanday buzilishlardan kelib chiqqan holda, namlanadi, ya'ni. vaqt o'tishi bilan y p (t) nolga moyil bo'ladi (6.1-rasm, b).
Yechim y p (t) bir jinsli differensial tenglama quyidagi ko'rinishga ega:
, (6.3)
C i - boshlang'ich shartlar va buzilishlar bilan aniqlangan integratsiya konstantalari;
l i - xarakterli tenglamaning ildizlari:
Shunday qilib, o'tish jarayoni y p (t) komponentlar yig'indisini ifodalaydi, ularning soni ildizlar soni bilan belgilanadi l i xarakteristik tenglama (6.4).
Umumiy holda, xarakterli tenglamaning ildizlari murakkab bo'lib, juft ildizlarni hosil qiladi:
Qayerda a i ijobiy yoki salbiy bo'lishi mumkin va ildiz haqiqiy bo'lsa b j =0 va xayoliy agar a i = 0.
Bunday ildizlarning har bir jufti o'tish jarayonining tarkibiy qismini aniqlaydi:
va va orqali aniqlanadi.
Ushbu komponentning sinusoid ekanligini ko'rish oson: sönümli tebranishlar bilan, agar a i<0 ; divergent tebranishlar bilan, agar a i >0; da susaytirilmagan sinusoidal tebranishlar bilan a i = 0.
Shunday qilib, o'tish jarayonining ushbu komponentini susaytirish sharti tizimning xarakterli tenglamasi ildizining haqiqiy qismining salbiyligi hisoblanadi.
Agar b=0, keyin jarayon faqat ildizning haqiqiy qismi bilan belgilanadi a va aperiodikdir. Umuman olganda, tizimdagi vaqtinchalik jarayon tebranish va aperiodik komponentlardan iborat. Agar kamida bitta ildiz ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, u o'tish jarayonining divergent komponentini beradi va tizim beqaror bo'ladi. Bundan kelib chiqadiki, barcha komponentlarning zaiflashuvining umumiy sharti va shuning uchun butun o'tish jarayoni butun tizimning xarakterli tenglamasining barcha ildizlarining haqiqiy qismining salbiyligi, ya'ni. tizimni uzatish funktsiyasining barcha qutblari (maxraj nollari).
Xarakteristik tenglamaning ildizlarini kompleks tekislikda tasvirlash orqali yuqoridagilarni eng aniq tasvirlash mumkin (6.2-rasm). Bunday holda, yuqorida topilgan barqarorlik sharti quyidagicha ifodalanishi mumkin: tizimning barqarorligi sharti tizimning xarakterli tenglamasining barcha ildizlarining joylashishi, ya'ni. tizimning uzatish funktsiyasining qutblari, chap murakkab yarim tekislikda yoki qisqasi, barcha ildizlar "chap qo'l" bo'lishi kerak. Xayoliy o'qda ildizning mavjudligi tizimning barqarorlik chegarasida ekanligini anglatadi.
6.2-rasm Xarakteristik tenglama ildizlarining kompleks tekislikdagi tasviri
Shunday qilib, birinchi qarashda barqarorlikni o'rganish muammosi hech qanday qiyinchilik tug'dirmaydi, chunki xarakterli tenglama ildizlarining murakkab tekislikdagi joylashishini aniqlash kifoya. Biroq, uchinchidan yuqori tartibli xarakterli tenglamaning ildizlarini aniqlash sezilarli qiyinchiliklar bilan bog'liq bo'lib, bu dinamik jarayonlar yuqori tartibli differentsial tenglamalar bilan tavsiflangan tizimlarning barqarorligini o'rganish muammosini keltirib chiqaradi.
Bu muammoning qisman yechimi bilvosita topildi. Bir qator belgilar ishlab chiqilgan bo'lib, ular yordamida xarakteristik tenglamaning o'zini yechmasdan, tizimning xarakteristik tenglamasi ildizlarining haqiqiy qismlarining belgilarini va shu bilan tizimning barqarorligini baholash mumkin. Bunday holda, odatda tizimning barqarorligini o'rganish muammosining ikkita formulasi mavjud:
1) tizimning barcha parametrlari ko'rsatilgan va bu parametr qiymatlarida tizim barqaror yoki yo'qligini aniqlash kerak;
2) tizim barqaror bo'lgan ba'zi parametrlarning qiymatlarini (qolganlari berilgan) aniqlash kerak.
Xarakteristik tenglamaning koeffitsientlari yoki bu koeffitsientlarning har qanday funksiyalari tizim barqaror bo'lishi uchun qanoatlantirishi kerak bo'lgan shartlarning matematik formulasi barqarorlik mezoni deyiladi.
Avtomatik boshqaruv tizimi agar da barqaror deb ataladi t o'tish jarayoni barqaror holat qiymatiga intiladi. Chiziqli ACS asosan chiziqli tizimlarni hisobga olishini hisobga olsak, bu turdagi barqarorlik dastlabki barqaror holatdan kichik og'ishlar uchun amal qiladi. Ushbu barqarorlik "kichikdagi barqarorlik" deb ham ataladi. Bunday barqarorlikning tasvirlari 1.33-rasmda ko'rsatilgan.
O'ziyurar qurollar uchun barqarorlik xususiyati majburiydir, chunki beqaror o'ziyurar qurol aslida ishlamaydi.
Barqarorlik to'g'ridan-to'g'ri usullar yoki barqarorlik mezonlari yordamida baholanishi mumkin.
Barqarorlikni baholashning bevosita usullari.
Barqarorlik xossasini o'tish jarayonining grafigidan aniqlash mumkin (1.33d-rasm). Biroq, vaqtinchalik jarayonni hisoblash va chizish katta hisob-kitoblarni talab qiladi.
Hiyla tuzmasdan barqarorlikni o'rnatish osonroq h(t), lekin faqat o'tkinchi jarayon tasvirining xarakterli tenglamasining ildizlari bilan h(p). Xarakteristik tenglamaning har bir ildizi ifodaga atama sifatida kiritilgan o'z terminiga mos keladi h(t) o'tish jarayoni. 1.5-jadvalda ACSning xarakteristik tenglamasi ildizlarining mosligi, o'tish jarayonini ifodalashda atamalar turi va ACSning barqarorlik xususiyatlari ko'rsatilgan.
Barqarorlikni vaqtinchalik jarayon grafigi yoki xarakteristik tenglamaning ildizlari bo'yicha baholashning kamchiliklari shundaki, uni odatda uzatish funktsiyasi kamida bitta harf koeffitsientiga ega bo'lgan avtomatik boshqaruv tizimiga qo'llash mumkin emas, chunki uni hal qilishning analitik usullari mavjud emas. algebraik tenglamalar (ya'ni bunday tenglama avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasi) 3-darajali. Xuddi shu sababga ko'ra, belgilangan barqarorlikni baholash ACS sintezi bosqichida qo'llanilmaydi.
Barqarorlik mezonlari yordamida barqarorlikni baholash.
TAUda barqarorlikni baholash uchun barqarorlik mezonlari qo'llaniladi. Barqarorlik mezonlari ular yordamida xarakteristik tenglamaning ildizlarini topmasdan avtomatik boshqaruv tizimining barqarorligi faktini aniqlash mumkin bo'lgan protseduralar va qoidalar to'plami deyiladi. Bunday mezonlarning algebraik va chastotali har xil turlari mavjud. Quyida TAUda eng qo'llaniladiganlari keltirilgan Xurvits, Mixaylov va Nyquist mezonlari.
1.5-jadval
|
Xarakteristik tenglama ildizining turi |
Muddati ifodada h(t) |
O'tish jarayoni h(t) |
|
1. p=0 |
Barqaror |
|
|
2. p 1 =0, p 2 =0 (ikki nol ildiz) |
BILAN t |
Beqaror |
|
3. p= (haqiqiy ildiz) |
Barqaror <0 va da beqaror >0 |
|
|
4. p= j (murakkab ildizlar) |
Barqaror <0 va da beqaror >0 |
|
|
5. p= j (ildizlar faqat xayoliy) |
Barqarorlik yoqasida |
Hurvits barqarorlik mezoni
Hurvits mezoni algebraikdir. Barqarorlikni baholash uchun yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining uzatish funktsiyasining xarakterli polinomi qo'llaniladi. ACS tuzilishi har qanday bo'lishi mumkin.
Xurvits mezoniga kirish qismi.
Yopiq ACS quyidagi uzatish funksiyasiga ega bo'lsin
Xarakteristik polinomning koeffitsientlaridan
quyidagi matritsani tuzing
Matritsani to'ldirish tartibi quyidagicha. Birinchidan, dan koeffitsientlar a 1 oldin a n. Keyin diagonal elementlarning ustiga ortib borayotgan indeksli koeffitsientlar qo'yiladi. Agar to'ldirish jarayonida barcha koeffitsientlar tugasa, ular tikishadi 0. Keyinchalik, diagonal elementlarning ostiga indekslari pasaygan koeffitsientlar qo'yiladi. Agar to'ldirish jarayonida barcha koeffitsientlar tugasa, ular tikishadi 0.
Hurvits mezonini shakllantirish: O'ziyurar qurol barqaror, agar:
1) xarakterli ko'phadning barcha koeffitsientlari musbat;
2) hammasi ijobiy n Matritsaning asosiy (diagonal) Xurvits determinantlari (1.45):
(1.46)
Oxirgi determinant hisoblanmaydi, chunki uning belgisi belgi bilan mos keladi Δ n -1 :
Δ n =a n Δ n-1
Agar kamida bitta Hurvits determinanti manfiy bo'lsa, ACS beqaror hisoblanadi. Agar kamida bitta Xurvits determinanti nolga teng bo'lsa va qolganlari ijobiy bo'lsa, u holda ACS barqarorlik chegarasida bo'ladi.
Raqamli misol.
O'tkazish funktsiyasi bilan avtomatik boshqaruv tizimining barqarorligini aniqlang
Xurvits matritsasi va asosiy determinantlarni tuzish
Ikkala determinant ham ijobiy, shuning uchun ACS barqaror.
Qabul qilinadigan ACS sozlamalarini aniqlash.
Agar ACS uzatish funktsiyasi qiymati har qanday raqam bo'lishi mumkin bo'lgan kamida bitta harf koeffitsientini o'z ichiga olgan bo'lsa, Xurvits mezonidan foydalanib, barqarorlik sharoitida maqbul bo'lgan bunday koeffitsientning qiymatlarini aniqlash mumkin. Ikki harfli koeffitsientlar yordamida bunday koeffitsientlarning ruxsat etilgan qiymatlarini birgalikda aniqlash va ushbu koeffitsientlar tekisligida barqarorlik sohalarini aniqlash mumkin. Buni misol bilan ko'rsatamiz.
1.34-rasmda ko'rsatilgan kema yo'nalishini boshqarish uchun o'ziyurar boshqaruv tizimi ikkita bo'g'in - avtopilot va kemadan iborat bo'lsin. Avtopilot va kemaning uzatish funktsiyalari mos ravishda quyidagi shaklga ega:
Vaqt doimiy T idishning yuklanishiga bog'liq va har xil bo'ladi 10 s gacha bo'sh kema bilan 60 s to'liq yuklanganda. Avtopilotni sozlash parametri - vites nisbati K. Bunday parametr qiymatlarini topish kerak K, bunda o'ziyurar qurollar kema yuki o'zgarganda barqaror bo'ladi.
Biz yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining uzatish funksiyasini aniqlaymiz
(1.48)
Biz Hurvits matritsasi tuzamiz va 2-determinantni hisoblaymiz:
(1.49)
(1.49) shartdagi xarakterli polinomning barcha koeffitsientlarining musbatligini hisobga olgan holda, ACS barqaror bo'ladi. bir vaqtda bilan quyidagi tengsizliklar tizimining bajarilishi
O'ziyurar qurol barqarorlik chegarasida bo'ladi, agar kamida bitta tenglikdan
Har bir tenglik (1.51) tekislikda T- K barqarorlik hududining chegarasi (1.35-rasm). Soyalash barqarorlik chegara chiziqlariga nisbatan barqarorlik joylarini ko'rsatadi. Umumiy maydon a0 d barcha soyali joylar uchun ACS barqarorligi maydoni.
bilan bo'sh kema bilan bo'lsin T chegara vites nisbati o'rnatilgan K 1
regulyator Ushbu ACS holati nuqta bilan belgilangan 1
, barqarorlik mintaqasida yotgan. Agar kemani yuklagandan keyin qiymat T gacha ortadi T yuk, keyin bir vaqtning o'zida K 1
Nuqtada o'ziyurar qurollar 2
beqaror bo'ladi. Ko'paytirish kerak bo'ladi K qiymatiga K 3
Shunday qilib, tizim nuqtada tugaydi 3
. Singan chiziq bilan chegaralangan maydon a B C D, har qanday tomir yuki uchun barqarorlik maydoni bo'ladi. 
7-MA'RUZA.
Oldingi ma'ruzalarda avtomatik boshqaruv tizimlarida barqaror holat jarayonlari o'rganildi. Endi biz vaqtinchalik jarayonlarni ko'rib chiqishga o'tamiz. Keling, ularga barqarorlik tushunchasi bilan qarashni boshlaylik.
Har qanday tizim birinchi navbatda ishlayotgan bo'lishi kerak. Bu shuni anglatadiki turli xil tashqi buzilishlar ta'sirida normal ishlashi kerak. Boshqacha aytganda, tizim barqaror ishlashi kerak.
Barqarorlik - Bu har qanday ta'sir natijasida tizimdan chiqqandan keyin asl yoki unga yaqin barqaror holatga qaytish xususiyatidir.
Shaklda. 7.1-rasmda beqaror (7.1-rasm, a) va barqaror (7.1-rasm, b) tizimlardagi vaqtinchalik jarayonlarning tipik egri chiziqlari ko'rsatilgan. Agar tizim beqaror, keyin har qanday surish uning dastlabki barqaror holatdan chiqishning divergent jarayonini boshlashi uchun etarli. Bu jarayon aperiodik (7.1-rasm, a-rasmdagi 1-egri chiziq) yoki tebranuvchi (7.1-rasm, a-rasmdagi 2-egri chiziq) bo'lishi mumkin.
Aperiodik divergent jarayon, masalan, agar ob'ektga ta'sir qilishning qutbliligi uning boshqaruv moslamasida noto'g'ri o'zgartirilsa, avtomatik boshqaruv tizimida paydo bo'lishi mumkin, buning natijasida boshqaruv bloki salbiy emas, balki ijobiy aloqani ta'minlaydi. ob'ekt. Bunday holda, boshqaruv bloki og'ishlarni bartaraf etmaydi da, lekin teskari yo'nalishda harakat qilib, ko'chkiga o'xshash o'zgarishlarga olib keladi.
Tebranishli divergent jarayon, masalan, tizimning uzatish koeffitsientining cheksiz o'sishi bilan sodir bo'lishi mumkin. Natijada, boshqaruv bloki dastlab yuzaga kelgan og'ishlarni bartaraf etishga harakat qilib, ob'ektga haddan tashqari energetik harakat qiladi. da. Bunday holda, har bir keyingi qaytish bilan da nazorat qilish moslamasining egri chizig'i ta'sirida nolga da ortib borayotgan tezlik bilan x o'qini kesib o'tadi va butun jarayon divergent bo'ladi.
Barqaror tizimda (7.1-rasm, b) har qanday ta'sir natijasida yuzaga keladigan o'tkinchi jarayon vaqt o'tishi bilan aperiodik (1-egri chiziq) yoki tebranuvchi (2-egri) parchalanadi va tizim barqaror holatga qaytadi.
Shunday qilib, barqaror tizimni vaqtinchalik jarayonlar susaytiradigan tizim sifatida ham aniqlash mumkin.
Yuqoridagi barqarorlik tushunchasi aniqlaydi barqaror holat barqarorligi tizimlari. Biroq, tizim doimiy o'zgaruvchan ta'sirlar sharoitida, umuman barqaror holat bo'lmaganda ishlashi mumkin. Bunday ish sharoitlarini hisobga olgan holda barqarorlikning quyidagi umumiy ta'rifini berish mumkin: Agar uning chiqish qiymati cheklangan kattalikdagi buzilishlar ta'siri ostida cheklangan bo'lsa, tizim barqaror hisoblanadi.
Ko'rsatish oson, agar tizimdagi o'tkinchi jarayon susaytirilsa, u holda tizim oxirgi ta'rifni qondiradi.
Chiziqli avtomatik boshqaruv tizimi, agar uning chiqish koordinatasi y(t) mutlaq qiymatda cheklangan x(t) va f(t) har qanday kirish ta'siri uchun cheklangan bo'lib qolsa, barqaror deb ataladi. Chiziqli tizimning barqarorligi uning xususiyatlari bilan belgilanadi va mavjud ta'sirlarga bog'liq emas.
Shunday qilib, chiziqli tizimning barqarorligini aniqlash uchun uning boshqariladigan miqdorining o'zgarishini topish kerak. Chiziqli tizimning blok diagrammasi 7.2-rasmda ko'rsatilgan, bu erda W(lar) ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi bo'lib, u umuman ikkinchi ma'ruzada ta'riflanganidek, quyidagi shaklga ega:
Guruch. 7.2. Chiziqli tizimning blok diagrammasi
Rasmda ko'rsatilgan yopiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi. 7.2, quyidagi formula bilan aniqlanadi
(7.1) ni (7.2) ga almashtirib, yopiq davrli sistemaning uzatish funksiyasining pay va maxrajidagi kasrlardan ozod qilsak, uni quyidagicha taqdim etishimiz mumkin:
Tizimdagi jarayonlar (7.2-rasm), (7.3) dan quyidagi shakldagi differensial tenglama bilan tavsiflanadi.
Chiziqli bir hil bo'lmagan tenglamaning (7.4) umumiy ko'rinishdagi yechimi, ma'lumki, ikkita komponentdan iborat:
Bu erda o'tish jarayonining oxirida o'rnatilgan tizimning majburiy rejimini tavsiflovchi o'ng tomoni bilan bir hil bo'lmagan tenglamaning (7.5) alohida yechimi; - bir jinsli tenglamaning umumiy yechimi
tizimdagi vaqtinchalik jarayonni tavsiflash.
Yuqorida ko'rsatilgandek, har qanday buzilishlar natijasida kelib chiqadigan vaqtinchalik jarayonlar parchalansa, tizim barqaror bo'ladi, ya'ni. vaqt o'tishi bilan u nolga moyil bo'lsa.
Bir jinsli differensial tenglamaning yechimi, ma'lumki, quyidagi ko'rinishga ega:
Bu yerga C i- boshlang'ich shartlar va buzilishlar bilan belgilanadigan integratsiya konstantalari; s i– xarakteristik tenglamaning ildizlari
Bu erda xarakteristik deb ataladigan ko'phad tizim dinamikasining (7.4) tenglamasining chap tomonidir.
Kompleks o'zgaruvchilar nazariyasidan ma'lumki, agar ildizning haqiqiy qismi s i manfiy bo'lsa, u holda atama t ® ¥ sifatida nolga intiladi.
Shunday qilib, tizimning barqarorligi uchun zarur va yetarli , uchun xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari manfiy haqiqiy qismlarga ega edi.
Agar sistemaning xarakteristik tenglamasining ildizlarini kompleks tekislikdagi nuqtalar sifatida tasvirlasak (7.3-rasm), u holda yuqorida topilgan chiziqli sistemaning barqarorligining umumiy shartini quyidagicha shakllantirish mumkin: tizimning barqarorligi sharti xarakterli tenglamaning barcha ildizlarining joylashishi, ya'ni. tizimning uzatish funktsiyasining qutblari, chap murakkab yarim tekislikda yoki qisqasi, ularning barchasi chap qo'l bo'lishi kerak..
Guruch. 7.3. Kompleks tekislikdagi xarakteristik tenglamaning ildizlari.
Xayoliy o'qda ildiz mavjudligi tizim yoqilganligini bildiradi barqarorlik chegarasi. Bunday holda, ikkita holat mumkin:
Kelib chiqishida ildiz;
Bir juft xayoliy ildiz.
Xarakteristik tenglamaning erkin hadi nolga teng bo'lganda nol ildiz paydo bo'ladi. Bunday holda, barqarorlik chegarasi deyiladi aperiodik ; tizim chiqish signaliga nisbatan emas, balki uning hosilasiga nisbatan barqaror: barqaror holatdagi chiqish signali ixtiyoriy qiymatga ega. Bunday tizimlar deyiladi neytral barqaror .
Agar xarakteristik tenglama bir juft xayoliy ildizga ega bo'lsa, barqarorlik chegarasi deyiladi. tebranish , o'tkinchi jarayonda esa so'nmagan garmonik tebranishlar bo'ladi.
Agar ildizlarning kamida bittasi ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, ya'ni. xarakterli tenglama ildizlarining kompleks tekisligining o'ng yarim tekisligida yotadi, keyin tizim beqaror.
Tizimning barqarorligini baholash uchun uning xarakterli tenglamasining ildizlarini topish deyarli shart emas, chunki bilvosita belgilar ishlab chiqilgan bo'lib, ular orqali ushbu ildizlarning haqiqiy qismlarining belgilarini va shu bilan barqarorlikni baholash mumkin. xarakteristik tenglamani o'zi hal qilmasdan tizim. Ushbu bilvosita belgilar deyiladi barqarorlik mezonlari.
Barqarorlikning uchta asosiy mezoni mavjud: Rut-Hurvits mezoni, Mixaylov mezoni va Nyquist mezoni. Keling, ularni ketma-ket ko'rib chiqaylik.
Barqarorlik tizimning xossasini tashqi ta'sir natijasida uni muvozanat holatidan olib chiqqandan so'ng mustaqil ravishda muvozanat holatiga qaytish deb ataladi. Muvozanat - bu nazorat qilinadigan miqdor bo'lganda tizimning holati y(t) doimiy va uning barcha hosilalari nolga teng. Barqarorlikni o'rganish avtomatik boshqaruv nazariyasining asosiy vazifalaridan biridir.
Yuqorida aytib o'tilganidek, boshqaruv jarayoni o'tish jarayoni bilan belgilanadi: o'zgarish qonuni y(t) o'zgartirilgandan keyin x(t). ACSning vaqtinchalik jarayonini ACS differentsial tenglamasini (1) yechish orqali olish mumkin. Ushbu yechim majburiy ravishda ikkita komponentning yig'indisi bilan ifodalanishi mumkin y in(t) va o'tish davri y p(t):
y(t) = y in(t) + y p(t),
Qayerda y in(t) tizimning xususiyatlari va kirish ta'sirining turi bilan belgilanadi. Vaqt o'tishi bilan o'tish komponenti nolga moyil bo'lsa, ACS barqaror bo'ladi:
Tizimning barqarorligini uning o'tish jarayonining turiga qarab bir ma'noda baholash mumkin: susaytiruvchi o'tish jarayoni (ba'zi bir doimiyga yaqinlashish) barqaror tizimga mos keladi, ajralish (cheksizlikka yaqinlashish) - beqaror.
| Stabil bo'lmagan avtomatik boshqaruv tizimlarining vaqtinchalik jarayonlariga misollar. |  |
O'ziyurar qurollarning barqarorligini o'rganishda quyidagi vazifalar hal qilinadi:
Berilgan parametrlar bo'yicha ACS barqaror yoki yo'qligini aniqlash;
Barqarorlikni buzmasdan ACS parametrlarida ruxsat etilgan o'zgarishlarni aniqlash;
Avtomatik boshqaruv tizimining parametrlarini va/yoki tuzilmasini qidiring, bunda u barqaror bo'lishi mumkin.
Lyapunov teoremasi
Kerakli va yetarli barqarorlik holati chiziqli o'ziyurar qurollar ishlab chiqilgan Lyapunov teoremasi:
Agar ACS ning xarakteristik tenglamasi manfiy haqiqiy qismga ega bo'lgan barcha ildizlarga ega bo'lsa, u holda tizim barqarordir;
Agar kamida bitta ildiz ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lsa, u holda ACS beqaror.
ACSning xarakteristik tenglamasi tizimning differentsial tenglamasi yoki uzatish funktsiyasi ko'rinishida yoziladi. Shunday qilib, (1) tenglamadan Laplas konvertatsiyasidan so'ng biz (2-xulosaga qarang):
Tenglamaning chap tomonidagi polinom quyidagi ko'rinishga ega:
chaqirdi xarakterli. Xarakteristik ko'phadni nolga tenglash hosil bo'ladi xarakterli tenglama tizim yoki havola:
Xarakteristik tenglamaning ildizlari, ularning soni ACS ning xarakteristik tenglamasi tartibiga mos keladi, haqiqiy, murakkab va sof xayoliy bo'lishi mumkin. Ular murakkab kattalik tekisligidagi nuqtalar sifatida ifodalanishi mumkin R. Teoremaga ko'ra, tizim barqarorligi uchun barcha ildizlarning chap yarim tekislikda yotishi zarur va etarli. Xarakteristik tenglama ildizlarining kompleks tekisligida mumkin bo'lgan taqsimotlarga misol barqaror 5-tartibli o'ziyurar qurol rasmda ko'rsatilgan. 75.
Agar xarakteristik tenglamaning ildizlari orasida nol ildiz yoki xayoliy o'qda joylashgan juft sof xayoliy ildizlar mavjud bo'lsa, tizim o'zini barqarorlik chegarasida topadi. 5-darajali avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasi ildizlarining murakkab tekisligida mumkin bo'lgan taqsimotlarga misollar, barqarorlik chegarasida joylashgan, shaklda ko'rsatilgan. 77.
Bir juft xayoliy ildizga ega bo'lgan tizimlar o'chirishsiz tebranishlarni (o'z-o'zidan tebranishlarni) amalga oshirishi mumkin. Bunday tizimlar amalda ishlamaydi.
| Guruch. 77 |
Lyapunov teoremasidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misollarini va baholash natijalari va avtomatik boshqaruv tizimining o'tish xususiyatlari o'rtasidagi bog'liqlikni ko'rib chiqaylik.
3-tartibli ACS quyidagi shakldagi xarakterli tenglamaga ega bo'lsin:
Shaklda. 78-rasmda Mathcad matematik paketi yordamida olingan ushbu tenglamani yechish natijasi ko'rsatilgan. Tenglamaning ildizlar to'plami qavslar ichida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizlaridan biri bo'lib chiqdi salbiy haqiqiy son -3,55, qolgan ikkitasi esa murakkab konjugat sonlardir salbiy haqiqiy qism –0,525: (–0,525 – 0,657 j) va (–0,525 + 0,657 j).
Keling, xuddi shunday shakldagi xarakterli tenglamaga ega bo'lgan boshqa 3-tartibli ACSni ko'rib chiqaylik:
Shaklda. 80-rasmda Mathcad matematik paketi yordamida olingan ushbu tenglamani yechish natijasi ko'rsatilgan. Tenglamaning ildizlar to'plami qavslar ichida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizlaridan biri bo'lib chiqdi salbiy haqiqiy son -7,2, qolgan ikkitasi esa murakkab konjugat sonlardir ijobiy haqiqiy qism 1.31: (1.31 + 4.64 j) va (1,31 - 4,64 j), ya'ni. Murakkab tekislikda ildizlarning taqsimlanishi, Lyapunov teoremasiga ko'ra, avtomatik boshqaruv tizimining beqarorligini ko'rsatadi.
ACS barqarorligi mezonlari
Barqarorlikni baholash uchun tizimning xarakteristik tenglamasi ildizlarining kompleks tekislikning koordinata o'qlariga nisbatan joylashishini taxmin qilish kerak. Bu baho xarakteristik tenglamani to'g'ridan-to'g'ri yechish orqali amalga oshirilishi mumkin. Ammo barqarorlikni aniqlash uchun xarakterli tenglamaning ildizlari qiymatlarini bilish shart emas, barcha ildizlarning haqiqiy qismlari manfiy yoki yo'qligini tekshirish kifoya.
Xarakteristik tenglamaning ildizlarini to'g'ridan-to'g'ri topmasdan tizimning barqarorligini o'rganishga imkon beradigan qoidalar deyiladi. barqarorlik mezonlari.
Boshqarish nazariyasi rivojlanishining dastlabki bosqichida ko'phadning ildizlarini hisoblamasdan turib uning barqarorligini aniqlash muammosi dolzarb edi, chunki yuqori tartibli xarakterli tenglamalarni qo'lda yechish qiyin edi. Hozirgi vaqtda kompyuter dasturlari yordamida xarakterli ko'phadning ildizlarini topish oson, ammo bu yondashuv barqarorlikni nazariy jihatdan o'rganishga, masalan, ACSning individual parametrlarining barqarorlik sohalari chegaralarini aniqlashga imkon bermaydi.
Barqarorlik mezonlaridan foydalanib, nafaqat tizim barqarorligi fakti belgilanadi, balki tizimdagi ma'lum parametrlar va tarkibiy o'zgarishlarning barqarorlikka ta'siri ham baholanadi. Matematik jihatdan barqarorlik mezonlarining barcha shakllari ekvivalentdir, chunki ular xarakteristik tenglamaning ildizlari murakkab koordinatalar tizimining chap yarim tekisligiga tushish shartlarini belgilaydi.
6.2.1. Hurvits mezoni
Xurvits mezoni algebraik barqarorlik mezonlariga taalluqlidir, bu esa xarakteristik tenglamaning koeffitsientlari bo'yicha algebraik amallar natijalari asosida ACS barqaror yoki barqaror emasligini aniqlash imkonini beradi.
Haqiqiy o'ziyurar qurollarning aksariyati yopiq, ya'ni. umumiy birlik mulohazasiga va shunga mos ravishda shaklni uzatish funktsiyasiga ega:
,
Qayerda W marta(R) – ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining uzatish funksiyasi (umumiy fikr-mulohazalarni hisobga olmagan holda).
Agar mos keladigan ochiq konturli ACS ning uzatish funksiyasi berilgan bo'lsa, yopiq konturli ACS ning xarakteristik tenglamasining kelib chiqishini ko'rib chiqaylik. (17) ga binoan, ACS ning xarakteristik tenglamasi uning uzatish funktsiyasining maxrajini nolga o'rnatish orqali olinadi, shuning uchun yopiq tizim uchun biz yozamiz:
Biroq, (2) ga binoan ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi quyidagi ko'rinishga ega:
shuning uchun yopiq tsiklli tizimning xarakteristik tenglamasini quyidagicha yozish mumkin:
Kasr nolga teng bo'lsa, uning numeratori nolga teng bo'ladi, shuning uchun yopiq tsiklli tizimning xarakteristik tenglamasi ochiq tsiklli tizimning o'tkazish funktsiyasining payi va maxrajining ko'phadlari yig'indisi sifatida yozilishi mumkin. natijada ifoda nolga teng:
| (18) |
Muhim! Hurvits mezonini qo'llash uchun xarakterli tenglamani yozishning maxsus shakli qo'llaniladi, u (16) dan polinom koeffitsientlarining teskari raqamlanishi bilan farqlanadi:
Hurvits mezoni o'lchamning xarakterli tenglama koeffitsientlari matritsasidan foydalanadi n´ n, quyidagicha tuzilgan:
Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlari dan boshlab asosiy diagonal bo'ylab yoziladi a 1 va tugashi a n;
Har bir satr chapdan o'ngga indekslari ortib boruvchi koeffitsientlar bilan to'ldiriladi, shunda juft va toq indeksli chiziqlar almashinadi;
Koeffitsient yo'q bo'lganda, shuningdek indeks 0 dan kam yoki undan ko'p bo'lsa n, uning o'rnida 0 yoziladi.
Natijada birinchi qatorda (19) tenglama koeffitsientlari mavjud bo'lgan matritsa hosil bo'ladi. a 1 ,a 3 ,a 5 ,… (barchasi toq raqamlar bilan) va etishmayotgan elementlar oʻrniga nollar, ikkinchi qator – koeffitsientlar a 0 ,a 2 ,a 4 ,... (barchasi juft raqamlar bilan) va etishmayotgan elementlar oʻrniga nol. Uchinchi qator birinchi qatorni bir pozitsiyani o'ngga siljitish orqali olinadi, to'rtinchisi - ikkinchi qatorni bir pozitsiyani o'ngga siljitish va hokazo. Masalan, 5-darajali o'ziyurar qurol uchun ( n= 5) bu matritsa quyidagi shaklga ega:
Hurvits mezoni ACS barqarorligi uchun zarur va etarli shartni quyidagicha belgilaydi: ACS ning xarakteristik tenglamasining barcha ildizlari a uchun manfiy haqiqiy qismlarga ega 0 > 0koeffitsient matritsasining barcha n Hurvits determinantlari ijobiydir.
Hurvits determinantlari quyidagicha hisoblanadi:
Xarakteristik tenglamaning barcha koeffitsientlari ijobiy bo'lishi sharti bilan, faqat tekshirish kifoya n– 1 ta birinchi Hurvits determinanti, to‘liq matritsa uchun determinantni hisoblamasdan. Bu shartda koeffitsient matritsasining determinantlarini ochib, past tartibli tizimlar uchun Xurvits mezonining maxsus holatlari olinadi. Shunday qilib, determinantlarni aniqlash natijasida birinchi va ikkinchi darajali ACS uchun barqarorlikning zarur va etarli sharti xarakterli tenglamaning barcha koeffitsientlarining haqiqiy musbatligi hisoblanadi. 3-darajali avtomatik boshqaruv tizimi uchun barcha koeffitsientlar ijobiy va shaklning sharti:
Keling, Hurvits mezonidan foydalanib, boshqaruvchining statik konversiya koeffitsientining qaysi qiymatlarida ekanligini aniqlaylik. k ko'rib chiqilayotgan tizim barqaror bo'ladi. Ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining uzatish funksiyasini yozamiz:
(18) dan foydalanib, biz yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasini yozamiz:
Ushbu tenglama uchun (19) shaklga ko'ra, koeffitsientlar mos ravishda teng:
Agar ushbu 3-tartibli tenglamaning barcha koeffitsientlari ijobiy bo'lsa, barqarorlikning zarur sharti (20) shartning bajarilishidir:
a 1× a 2 – a 0 × a 3 > 0,
Shunday qilib, ko'rib chiqilayotgan ACS barqaror bo'ladi, agar statik konvertatsiya koeffitsienti qiymati k shartni qondiradi:
Lyapunov teoremasi yordamida ilgari o'rganilgan 3-tartibli tizimlarning Hurvits mezoni yordamida barqarorlikni baholash misollarini ko'rib chiqaylik (78-rasm va 80-rasmga qarang). 3-darajali o'ziyurar qurollar uchun Hurvits koeffitsientlari matritsasi umumiy shaklga ega:
,
bular. Ko'rib chiqilayotgan avtomatik boshqaruv tizimlari uchun Hurvits matritsalari mos ravishda teng:
Va 
.
Ikkala avtomatik boshqaruv tizimining xarakterli tenglamalari barcha koeffitsientlarning pozitivlik mezonini qondiradi, shuning uchun Hurvits mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash uchun ijobiylikni hisoblash va tekshirish kifoya. n- 1 ta birinchi Hurvits determinantlari, ya'ni. 3-tartib uchun - ikkinchi determinant. Mathcad yordamida olingan ko'rib chiqilayotgan tizimlar uchun Hurvits matritsasining ikkinchi determinantlarini hisoblash natijalari (78-rasm va 80-rasmga qarang) rasmda ko'rsatilgan. 83– A va guruch 83– b mos ravishda. Ko'rib turganingizdek, Hurvits bo'yicha barqarorlikni baholash natijalari Lyapunov bo'yicha ilgari olingan baholarga va ko'rib chiqilayotgan ACSning o'tish xususiyatlarini qurish natijalariga to'g'ri keladi (mos ravishda 79-rasm va 81-rasmga qarang) - ijobiy determinant barqaror ACS ga, salbiy determinant esa beqarorga mos keladi.
(21) formula bo'yicha godograf chastotani w ni 0 dan +¥ ga o'zgartirish orqali hisoblanadi va kompleks tekislikda chiziladi.
Mixaylov mezoni ACS barqarorligi uchun zarur va etarli shartni quyidagicha belgilaydi: Agar chastota o'zgarganda, ACS barqaror bo'ladi 0ga +¥ Mixaylov vektor godografi A(j w ) haqiqiy o'qning musbat qismidan boshlanadi va nolga burilmasdan, soat miliga teskari burilib, ketma-ket n ta kompleks tekislikning kvadrantlaridan o'tadi, bu erda n - ACS xarakterli polinomining tartibi.
Barqaror tizimlar uchun Mixaylov godografi silliq spiral shaklga ega va w = 0 bo'lganda, ijobiy yo'nalishda haqiqiy o'qdagi xarakteristik tenglamaning erkin muddatiga teng segmentni kesib tashlaydi. A 0 .
Mixaylov godografining turi bo'yicha ACS barqarorligining chegaraviy holatini aniqlash mumkin: birinchi turdagi barqarorlik chegarasi bo'lsa, ya'ni. Agar ACSning xarakteristik tenglamasi nol ildizga ega bo'lsa (77-rasmga qarang), xarakterli tenglamaning erkin hadi yo'q. A 0 = 0 va godograf koordinatadan boshlanadi. Ikkinchi turdagi barqarorlik chegarasida, ya'ni. ACSning xarakteristik tenglamasida bir juft sof xayoliy ildizlarning mavjudligi (77-rasmga qarang), godograf w ning nolga teng bo'lmagan ba'zi bir qiymatida koordinatalarning kelib chiqishidan o'tadi (nolga aylanadi) va bu qiymat chastotadir. tizimning o'chirilgan tebranishlari.
Lyapunov teoremasi yordamida ilgari o'rganilgan 3-tartibli tizimlarning Mixaylov mezoni bo'yicha barqarorlikni baholash misollarini ko'rib chiqaylik (78-rasm va 80-rasmga qarang). Ushbu tizimlarning Mixaylov godograflarini hisoblash uchun formulalar mos ravishda quyidagi shaklga ega:
Birinchi o'ziyurar qurol uchun Mixaylovning godografi rasmda ko'rsatilgan. 84. Ko'rinib turibdiki, uning shakli mezonning barcha shartlarini qanoatlantiradi:
Godograf haqiqiy o'qning musbat qismidan boshlanadi (haqiqiy o'qda w = 0 da xarakteristik tenglamaning erkin muddatiga teng segmentni kesish) A 0 = 3);
Nolga tushmaydi;
Chastotaning qiymati w ortishi bilan soat miliga teskari burilib, u birinchi va ikkinchi kvadrantlardan ketma-ket o'tadi va uchinchi kvadrantda, w ® ¥ da, abadiylikka o'tadi.
Shuni ta'kidlash kerakki, xarakteristik tenglamaning yuqori tartibiga ega tizimlar uchun ( n= 5 yoki undan ko'p) to'rtinchidan keyin Mixaylov mezonining shartlarini tekshirishda kvadrantlarni hisoblash xuddi shu tartibda soat miliga teskari yo'nalishda davom etadi. Ya'ni, masalan, barqaror 5-darajali o'ziyurar qurol uchun godograf ketma-ket to'rtta kvadrantdan o'tib, birinchisiga qaytishi kerak (hodograf uchun, tartibda beshinchi) va u erda cheksizlikka borishi kerak. Shaklning godografini hisoblash formulasi bilan barqaror 5-darajali o'ziyurar qurol uchun Mixaylov godografiga misol:
shaklda ko'rsatilgan. 86. Tahlil qulayligi uchun w chastotasining past qiymatlarida olingan godografning dastlabki bo'limi alohida fragment sifatida ko'rsatilgan. Ko'rinib turibdiki, w = 0 dagi godograf haqiqiy o'qning musbat qismidan boshlanadi va ketma-ket soat miliga teskari yo'nalishda beshta kvadrantdan o'tib, beshinchida cheksizlikka boradi.
Amplituda-faza xarakteristikasi (APC) uchun Nyquist mezoni quyidagicha tuzilgan: agar chastota 0 dan 0 gacha o'zgarganda tegishli ochiq tizimning AFC koordinatalari [–1, j0] bilan nuqtani qamrab olmasa, yopiq konturli tizim barqaror bo'ladi.
Keling, birlashtiruvchi havolalarni o'z ichiga olmaydigan ixtiyoriy ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimini ko'rib chiqaylik. Bunday holda, w = 0 chastotasi uchun AFC qiymati ACS ning statik konvertatsiya koeffitsientiga teng:
V(j w) = V(j 0) = k.
Bundan tashqari, agar uzatish funktsiyasining hisoblagichi darajasi maxraj darajasidan kichik bo'lsa, u holda AFC grafigi koordinatali nuqtadan boshlanadi ( k, j 0) chastota 0 dan ¥ gacha o'zgarganda boshlang'ichga intiladi. Shaklda. 88– A OFK ko'rsatilgan barqaror ACS - grafik nuqtani koordinatali qamrab olmaydi [–1, j 0] va rasmda. 88– b– beqaror(grafik nuqtani qamrab oladi).
Agar ACS integratsiyalashuvchi havolalarni o'z ichiga olsa, u holda W = 0 da AFC abadiylikka o'tadi, ya'ni. Bu holatda AFC grafigi haqiqiy o'qdan boshlanmaydi, lekin cheksizlikdan keladi. Bunday holda, Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash uchun kontur nafaqat AFC egri chizig'ini, balki haqiqiy o'qdan soat yo'nalishi bo'yicha chizilgan cheksiz radiusli doiraning bir qismini ham o'z ichiga oladi. Misol barqaror Ushbu turdagi avtomatik boshqaruv tizimiga ega o'ziyurar qurol rasmda ko'rsatilgan. 90– A, beqaror- rasmda. 90– b.
| Guruch. 90 |
| A) |
| b) |
OFK uchun Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolini ko'rib chiqaylik, bu shaklning uzatish funktsiyasi bilan ochiq tsiklli tizimga mos keladigan yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimi misolida:
Berilganiga ko'ra yozamiz W marta(p) AFCni hisoblash formulasi:
va chastotani w ni 0 dan +¥ ga o'zgartirib, Mathcad matematik paketi yordamida ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining AFC grafigini chizamiz (91-rasm). Tahlil qilish qulayligi uchun OFK bo'limi [–1, nuqta hududida. j 0], w chastotasining katta qiymatlari uchun olingan, rasmda ko'rsatilgan. 91 ta alohida parcha. Fragment aniq ko'rsatadiki, grafik qoplaydi nuqta [–1, j 0], shuning uchun yopiq ACS hisoblanadi beqaror.
| Guruch. 91 |
6.2.4. LFC va LFFC uchun Nyquist mezoni
Logarifmik amplituda-chastota va faza-chastota xarakteristikalari uchun Nyquist mezoni quyidagicha tuzilgan: Agar tegishli ochiq tizimning xarakteristikalari uchun ikkita shart bajarilsa, yopiq konturli tizim barqaror hisoblanadi:
- ACS ning kesish chastotasiga teng chastotada w Fazali chastotali javob moduli 180 darajadan kam bo'lsa: 
<
180° ;
- ga teng chastotada w p LFC qiymati noldan kichik: L(wp)< 0.
Mezonni shakllantirishdan kelib chiqqan holda, ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining xususiyatlaridan kelib chiqqan holda uning shartlarini tekshirish uchun dastlab ikkita chastotani aniqlash kerak: kesish chastotasi w Bilan va chastotasi w p. Shundan so'ng, topilgan chastota qiymatlari uchun ikkala mezon shartining maqsadga muvofiqligi tekshirilishi kerak.
ACS kesish chastotasi- tizimning LFC chastotasi o'qini kesish chastotasi, ya'ni L(w Bilan) = 0. Bu chastota ham deyiladi birlikni olish chastotasi ACS, chunki ACS chiqishidagi ushbu chastotaning signali kirishdagi kabi bir xil amplitudaga ega: Va tashqariga = Kirish. Bu holatda bu to'g'ri:
Muhim! ACSning alohida standart birliklari va umuman butun tizimning kesish chastotasi tushunchalarini aralashtirib yubormang. Oddiy havolalarning kesish chastotalarini aniqlash "Eslatmalar" ustunida muhokama qilinadi Ilovalar 1.
Chastotasi w p ACS - ACS ning fazaviy javobi ortiqcha yoki minus belgisi bilan 180 ° ga teng bo'lgan chastotadir. Agar fazaviy javob ±180 ordinatani bir necha marta kesib o'tsa, u holda shartning bajarilishi eng o'ng nuqta uchun tekshiriladi.
Muhim! Ko'rib chiqilayotgan xarakteristikalar - kesish chastotalari w Bilan va chastota w p - har bir o'ziyurar qurol ularga ega emas. Agar tizimning LFC chastotasi o'qini umuman kesib o'tmasa, ya'ni L(w) w ning har qanday qiymati uchun ¹ 0, u holda bunday tizim kesish chastotasiga ega emas. Xuddi shunday, agar tizimning fazaviy javobi har qanday chastota qiymatida ± 180 ° qiymatini olmasa, u holda bu ACS w p parametri bilan tavsiflanmaydi. Bunday hollarda barqarorlikni baholash uchun boshqa mezonlarni tanlash kerak.
Shaklda. 92– A ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining LFC va LPFC grafiklari yordamida w chastotalarini qanday aniqlashni ko'rsatadi Bilan va wp.
| Guruch. 92 |
| A) |
| b) |
| Misollar: 1) kesish chastotasi bo'lmagan LACHS w c; 2) chastotasiz LFCH ACS w p . | |
Keling, Nyquist mezonining shartlari rasmda ko'rsatilgan ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristikalari uchun qanoatlantirilishini tekshirib ko'raylik. 92– A. Keling, miqdorlarni grafik tarzda aniqlaymiz L(w p) va j(w Bilan) rasmda ko'rsatilganidek. 92– b. Ko'rinib turganidek, L(wp)< 0, а <
180 °, ya'ni. Nyquist mezonining ikkala sharti ham qondiriladi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklga mos keladigan yopiq konturli ACS barqaror. Rasmdan. 92– b Bundan tashqari, Nyquist mezoniga ko'ra ACS barqarorligi uchun w shartining bajarilishi etarli degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bilan < w p .
Shaklda ochiq ACS xususiyatlari uchun. 93– va L(w p) > 0, va >
180 °, ya'ni. Nyquist mezonining ikkala sharti ham qondirilmaydi, shuning uchun ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklga mos keladigan yopiq tsiklli ACS beqaror. Rasmdan. 93– A Bundan tashqari, Nyquist mezoniga ko'ra ACS beqaror bo'lishi uchun w shartining bajarilishi kifoya degan xulosaga kelishimiz mumkin. Bilan> w p.
| Guruch. 93 |
| A) |
| b) |
Joylashgan yopiq kontur tizimiga mos keladigan ochiq konturli ACS xususiyatlari uchun barqarorlik chegarasida, L(w p) = 0 va =
180°, g Bilan= w p (93-rasmga qarang). b). Bunday tizim uchun, chastotasi w bo'lgan signal uchun Bilan, ya'ni. birlik daromad chastotasi bilan, kirishga nisbatan chiqish signalining faza siljishi -180 ° ni tashkil qiladi. Bu shuni ko'rsatadiki, ACS orqali o'tgandan so'ng, signal kattaligi uning mutlaq qiymatini (energiyasini) saqlab, belgini o'zgartiradi, ya'ni o'zgarmas tebranishlar o'rnatiladi. Bunday ACS ning AFC rasmda ko'rsatilgan. 89.
Keling, LFC va LFFC uchun Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolini ko'rib chiqaylik, bu shaklning uzatish funktsiyasi bilan ochiq tsiklli tizimga mos keladigan yopiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimi misolida:
Formulalar (11) va (12) yordamida Mathcad matematik paketi yordamida tuzilgan ochiq tsiklli avtomatik boshqaruv tizimining LFC va LPFC grafiklari rasmda ko'rsatilgan. 94. Rasmdan ko'rinib turibdiki, LFC w da nolga teng Bilan» 13,5 s -1. LFFC w p » 5,7 s chastotada -1 belgisini o'zgartiradi - j (w) -180 ° qiymatiga etganidan keyin (radius vektori soat yo'nalishi bo'yicha burilib, yuqori yarim tekislikka kiradi), fazalar almashinuvini hisoblash davom etadi ijobiy qiymatlar mintaqasida. Bunday holda, Nyquist mezonining ikkita shartidan faqat ikkinchisi rasmiy ravishda buziladi: kesish chastotasidagi LFC qiymati salbiy emas ( L(w p) » 18 > 0). Birinchi shart ( <
180°) rasman bajarilgan: » 130° <
180°. Shu bilan birga, shuni tushunish kerakki, fazaning 130 ° oldinga siljishi, belgini o'zgartirmasdan soat yo'nalishi bo'yicha hisoblashda, miqdor bo'yicha kechikishga to'g'ri keladi:
j(w Bilan) = –360° + 130° = –230°,
shuning uchun yopiq ACS beqaror. Xuddi shu xulosaga w ning qiymatlarini solishtirish orqali erishish mumkin Bilan va w p: w Bilan> w p. Ushbu ACS barqarorligini OFK uchun Nyquist mezoniga muvofiq baholash, oxirida amalga oshiriladi Bo'lim 6.2.3 ham barqarorlikning yo'qligini ko'rsatdi.
Lyapunov teoremasidan foydalanib, Nyquist mezonlari yordamida barqarorlik bahosini tekshiramiz. Belgilanganidek 
Formuladan (18) foydalanib, biz yopiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasini yozamiz:
Mathcad matematik paketi yordamida olingan yopiq tsiklli boshqaruv tizimining xarakteristik tenglamasining yechimi quyidagi shaklga ega:
Tenglamaning ildizlar to'plami qavslar ichida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, tenglamaning ildizlaridan biri bo'lib chiqdi salbiy haqiqiy son -17,74, qolgan ikkitasi esa murakkab konjugat sonlardir ijobiy Haqiqiy qism 3.657. Bu ildizlar mos ravishda teng (3,657 + 12,22 j) va (3.657– 12.22 j). Bu. Lyapunov teoremasiga ko'ra, yopiq o'ziyurar boshqaruv tizimi beqaror, bu ikkala Nyquist mezonlari yordamida olingan barqarorlikni baholash natijalariga mos keladi.
| Guruch. 94 |
O'ziyurar qurol barqarorligi chegaralari
ACS tarkibiga kiruvchi qurilmalarning texnik tavsiflari ish paytida o'zgaradi va shuning uchun ACS uzatish funktsiyasining konstantalari ham vaqt o'tishi bilan o'zgaradi. Tergovchi, faqat barqaror tizimni loyihalashning o'zi etarli emas, u hisoblanganlarga nisbatan ACS parametrlarida ba'zi o'zgarishlar bilan barqaror bo'lib qolishi kerak, ya'ni. bor edi barqarorlik zaxiralari. Marja tizimning barqarorlik chegarasidan masofasini aniqlaydi.
Amplituda barqarorlik chegarasi D L- desibeldagi qiymat, unga ko'ra ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining LFC mos keladigan barqaror yopiq tizimni barqarorlik chegarasiga olib kelishi uchun yuqoriga siljishi kerak. Shaklda. 95-rasmda barqaror o'ziyurar qurolning LFC ning yuqoriga siljishi ko'rsatilgan, uning dastlabki xususiyatlari Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolida ko'rib chiqilgan (92-rasmga qarang). b).
bu erda A(w p)< 1 – модуль АФХ на частоте w p .
Bilish D L, biz ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining statik konversiya koeffitsientining qiymatini aniqlashimiz mumkin, bunda tegishli yopiq tizim barqarorlik chegarasida bo'ladi:
;
 ,
| (23) |
Qayerda k
Shaklning uzatish funksiyasi bilan ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimi uchun statik konvertatsiya koeffitsientining chegara qiymatini aniqlash misolini ko'rib chiqaylik:
Ushbu o'ziyurar qurolning LFC va LFFC-lari rasmda ko'rsatilgan. 96. Xarakteristika grafiklaridan ACSning kesish chastotasi w ekanligini ko'rish mumkin Bilan» 50 s -1 , va LFFC w p » 100 s -1 chastotada –180° qiymatiga etadi va keyin belgini o'zgartiradi. Ushbu o'ziyurar qurol uchun amplituda barqarorlik chegarasi teng 
, shuning uchun (23) formulaga muvofiq:
.
ACS ning statik konvertatsiya koeffitsientini teng qiymatga o'zgartirganda k gr, o'ziyurar qurolning LFC o'zgarmaydi, lekin LFC yuqoriga siljiydi (96-rasmga qarang). Ko'rinib turibdiki, topilgan qiymat bilan k gr= 425.975 ochiq ACSning kesish chastotasi w Bilan 1 100 s -1 ga teng bo'ladi, ya'ni. w Bilan 1 = w p. Bu shuni anglatadiki, LFC va LPFC uchun Nyquist mezoniga muvofiq, ko'rib chiqilayotgan ochiq tsiklli ACSga mos keladigan yopiq tizim haqiqatan ham barqarorlik chegarasida bo'ladi.
Shaklda. 97-rasmda ochiq konturli ACS LFFC ning pastga siljishi ko'rsatilgan, uning boshlang'ich xarakteristikalari Nyquist mezonidan foydalangan holda barqarorlikni baholash misolida ko'rib chiqilgan (92-rasmga qarang). b). Ko'rinib turibdiki, dastlabki LFFC ning o'ziga parallel ravishda Dj (w) miqdori bilan pastga siljishi. Bilan) ochiq ACS ning w p chastota siljishiga olib keladi chap: nuqta chiziq bilan ko'rsatilgan yangi LFFC uchun bu chastotaning qiymati w p1 = w Bilan, bu LFC va LFFC uchun Nyquist mezoniga ko'ra, yopiq tizim barqarorlik chegarasida ekanligini ko'rsatadi. Rasmdan. 97 shundan kelib chiqadiki, Dj(w Bilan) quyidagicha aniqlanishi mumkin:
Eslatib o'tamiz, w Bilan bu birlikni oshirish chastotasi: ACS chiqishidagi bu chastotali signal kirishdagi kabi bir xil amplitudaga ega. Binobarin, w ga to'g'ri keladigan AFC nuqtasiga tortilgan radius vektorining uzunligi Bilan, 1 ga teng. Bu nuqtani OFK grafigida birlik radiusi doirasi bilan kesishgan joyda topish mumkin (98-rasmga qarang).
Rasmdan. 98 aniq ko'rinib turibdiki, agar ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining AFC grafigi Dj(w) ga teng burchakka aylantirilsa. Bilan), keyin grafik nuqtadan o'tadi [–1, j 0], bu yopiq tizimni OFK uchun Nyquist mezoniga muvofiq barqarorlik chegarasiga olib boradi.
Xuddi shu OFK uchun amplituda barqarorlik chegarasini aniqlashni ko'rib chiqaylik. Chastota w p ±180° faza siljishiga to'g'ri keladi, shuning uchun bu chastotaga mos keladigan AFC nuqtasini grafikning haqiqiy o'q bilan kesishishi orqali topish mumkin (99-rasm). ACS chiqishida shunday chastotali signal amplitudasining susaytirish koeffitsientini aniqlaydigan AFC moduli koordinatalar kelib chiqishidan AFC ning tegishli nuqtasiga chizilgan radius vektorining uzunligiga teng. OFK uchun rasmda. 99 bu qiymat A(w p) ga teng va undan (22) formuladan foydalanib, D ni hisoblash mumkin L.
Qayerda k– asl ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining statik konversiya koeffitsienti.
Oldingi hisob-kitob qilingan ochiq konturli avtomatik boshqaruv tizimining AFC asosida statik konvertatsiya koeffitsientining chegara qiymatini aniqlash misolini ko'rib chiqaylik. k gr logarifmik xarakteristikalar bo'yicha amalga oshirildi (23-formuladan boshlab 96-rasmga qarang). Asl qiymati bilan bu o'ziyurar qurol AFC k= 107 rasmda ko'rsatilgan. 100. [–1, nuqta sohasida grafikni tahlil qilish qulayligi uchun. j 0] uning fragmenti alohida ko'rsatilgan. Ko'rib turganingizdek, dastlabki qiymatga ega o'ziyurar qurollar k AFC moduli A(w p) » 0,25, shuning uchun (25) formulaga muvofiq:
Qiymat topildi k gr= 428 LFC yordamida hisoblash natijasi bilan qoniqarli aniqlik bilan mos keladi ( k gr= 425.975). Hisoblashdagi xatolar D grafiklaridan taxminiy aniqlash bilan bog'liq L va A(w p).
| Guruch. 100 |
Shakldan ko'rinib turibdiki. 100, ACS ning statik konvertatsiya koeffitsientini teng qiymatga o'zgartirganda k gr= 428, o'ziyurar qurol koordinatali nuqtadan o'tadi [–1, j 0], ya'ni OFK uchun Nyquist mezoniga muvofiq, ko'rib chiqilayotgan ochiq konturli ACSga mos keladigan yopiq tsiklli tizim haqiqatan ham barqarorlik chegarasida bo'ladi.
O'ziyurar qurollarning amplituda barqarorligi chegaralari D L va faza Dj(w Bilan), o'tish xususiyati bilan belgilanadigan ko'rsatkichlar bilan bir qatorda (qarang. bob 2.3.2.), boshqaruv sifatining asosiy ko'rsatkichlari hisoblanadi.
Adabiyot
1. Anximyuk, V.L. Avtomatik boshqaruv nazariyasi. / V.L. Anximyuk, O.F. Opeiko, N.N. Mixeev; tomonidan tahrirlangan V.L. Anximyuk. – Mn.: Design PRO, 2000. – 352 b.
2. Besekerskiy, V.A. Avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi / V.A. Besekerskiy, V.P. Popov. – M.: Nauka, 1975. – 766 b.
3. Andryushchenko, V.A. Avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi / V.A. Andryushchenko. – L.: Leningrad davlat universiteti, 1990. – 256 b.
4. Klyuev, A.S. Texnologik jarayonlarni avtomatlashtirish tizimlarini loyihalash: ma'lumotnoma / A.S. Klyuev, B.V. Glazov va boshqalar - M.: Energoatomizdat, 1990. - 464 b.
5. Klyuev, A.S. Avtomatik boshqaruv va texnologik boshqaruv sxemalarini o'qish texnikasi / A.S. Klyuev, B.V. Glazov va boshqalar - M.: Energoatomizdat, 1991. - 432 b.
6. Fedorov, Yu.N. Avtomatlashtirilgan jarayonlarni boshqarish tizimlari bo'yicha muhandis uchun qo'llanma: loyihalash va ishlab chiqish: o'quv va amaliy ish. nafaqa / Yu.N. Fedorov. – M.: Infra-muhandislik, 2008. – 928 b.
7. Polyakov, K.Yu. Qo'g'irchoqlar uchun avtomatik boshqarish nazariyasi. K.Yu. Polyakov // O'qitish, fan va hayot [Elektron resurs]. – 2009. – Kirish rejimi: http://kpolyakov.narod.ru/uni/teapot.htm. – Kirish sanasi: 06.01.2011.
8. Tixonov, A.I. Avtomatik boshqaruv nazariyasi: ma'ruzalar kursi / A.I. Tixonov. – Ivanovo: ISEU, 2002. – 188 p.
9. Yakovlev, A.V. Elektr dvigatel tezligini barqarorlashtirish tizimi: "O'ziyurar qurollarning texnik vositalari" kursi bo'yicha laboratoriya ishi /A.V. Yakovlev. – M.: MSTU im. N.E. Bauman, 2007. – 24 b.
10. Zaitsev, G.F. Avtomatik boshqarish va tartibga solish nazariyasi / G.F. Zaytsev. – K.: Oliy maktab, 1989. – 431 b.
11. Tumanov, M.P. Nazorat nazariyasi. Chiziqli avtomatik boshqaruv tizimlari nazariyasi: darslik / M.P. Tumanov. – M.: MGIEM, 2005. – 82 b.
12. Kuzmenko, N.V. “Texnologik jarayonlar va ishlab chiqarishni avtomatlashtirish” fanidan ma’ruza matnlari: darslik. nafaqa / N.V. Kuzmenko. – Angarsk: AGTA, 2005. – 77 p.
13. Bespalov, A.V. Dinamik havolalar. Vaqtinchalik xususiyatlar. Darslik nafaqa / A.V. Bespalov, N.I. Xaritonov va boshqalar - M.: RKhTU im. DI. Mendeleeva, 2001. – 80 b.
14. Savin, M.M. Avtomatik boshqaruv nazariyasi: darslik. nafaqa / M.M. Savin, V.S. Elsukov, O.N. Pyatina. - Rostov-na-Donu: Feniks, 2007. - 469 p.
15. Phillips, Ch. Teskari aloqani boshqarish tizimlari / Ch. Phillips, R. Harbor. – M.: Asosiy bilimlar laboratoriyasi, 2001. – 616 b.
O'ziyurar qurol barqarorligi
Transfer funksiyasining nollari va qutblari
O'tkazish funksiyasining numeratoridagi ko'phadning ildizlari deyiladi nollar, va ko'phadning maxrajdagi ildizlari qutblar uzatish funktsiyasi. Bir vaqtning o'zida qutblar xarakteristik tenglamaning ildizlari, yoki xarakterli raqamlar.
Agar ko'chirish funktsiyasining pay va maxrajining ildizlari chap yarim tekislikda bo'lsa (hisob va maxrajning ildizlari yuqori yarim tekislikda yotsa), u holda bog'lanish deyiladi. minimal faza.
Ildizlarning chap yarim tekisligiga mos kelishi R ildizlarning yuqori yarim tekisligi (2.2.1-rasm) bilan izohlanadi, yoki 
, ya'ni. vektorni soat yo'nalishi bo'yicha burchak bilan aylantirib vektor olinadi. Natijada, chap yarim tekislikdagi barcha vektorlar yuqori yarim tekislikdagi vektorlarga keladi.
Minimal bo'lmagan faza va beqaror aloqalar
Yuqorida ko'rib chiqilgan pozitsion va farqlovchi turlarning bog'lanishlari turg'un bog'lanishlarga yoki o'z-o'zidan tekislanadigan zvenolarga tegishli.
ostida o'z-o'zini tekislash ulanishning kirish qiymatining cheklangan o'zgarishi yoki bezovta qiluvchi ta'sir bilan o'z-o'zidan yangi barqaror holat qiymatiga erishish qobiliyatini anglatadi. Odatda, o'z-o'zini moslashtirish atamasi tartibga solinadigan havolalar uchun ishlatiladi.
Kirish qiymatining cheklangan o'zgarishi bog'lanishning yangi barqaror holatga kelishiga olib kelmaydigan havolalar mavjud va chiqish qiymati vaqt o'tishi bilan cheksiz o'sishga intiladi. Bularga, masalan, birlashtiruvchi tipdagi havolalar kiradi.
Bu jarayon yanada aniqroq bo'lgan havolalar mavjud. Bu xarakterli tenglamada ijobiy haqiqiy qismga ega bo'lgan musbat haqiqiy yoki murakkab ildizlarning mavjudligi bilan izohlanadi (o'tkazish funktsiyasining maxraji nolga teng), buning natijasida bog'lanish quyidagicha tasniflanadi. barqaror bo'lmagan havolalar.
Masalan, differensial tenglama misolida 
, bizda uzatish funksiyasi mavjud 
va musbat haqiqiy ildizga ega xarakteristik tenglama. Bu zveno uzatish funksiyasi bilan inertial zveno bilan bir xil amplituda-chastota xarakteristikasiga ega. Ammo bu bog'lanishlarning faza-chastota xususiyatlari bir xil. Inertial havola uchun bizda mavjud 
. Transfer funktsiyasi bilan bog'lanish uchun bizda mavjud
bular. kattaroq mutlaq qiymat.
Shu munosabat bilan, beqaror havolalar guruhga tegishli minimal fazali havolalar emas.
Minimal fazali bo'lmagan bog'lanishlar, shuningdek, o'tkazish funktsiyasining numeratorida (differensial tenglamaning o'ng tomoniga to'g'ri keladi) musbat haqiqiy qismga ega bo'lgan haqiqiy musbat ildizlarga yoki murakkab ildizlarga ega bo'lgan barqaror bog'lanishlarni ham o'z ichiga oladi.
Misol uchun, uzatish funktsiyasiga ega bo'lgan havola 
minimal fazali bo'lmagan bog'lanishlar guruhiga kiradi. Chastotani uzatish funktsiyasi moduli uzatish funktsiyasiga ega bo'lgan havolaning chastotani uzatish funktsiyasi moduliga to'g'ri keladi 
. Ammo birinchi bo'g'inning fazaviy siljishi mutlaq qiymatda kattaroqdir:
Minimal fazali aloqalar bir xil amplituda chastotali xususiyatlarga ega bo'lgan mos keladigan bog'lanishlarga nisbatan kichikroq fazali siljishlarga ega.
Ularning aytishicha, tizim barqaror yoki o'z-o'zidan tekislash mavjud, agar tashqi bezovtalikni bartaraf etgandan so'ng, u asl holatiga qaytsa.
Erkin holatdagi sistemaning harakati bir hil differensial tenglama bilan tasvirlanganligi sababli barqaror sistemaning matematik ta’rifini quyidagicha shakllantirish mumkin:
Agar shart bajarilsa, tizim asimptotik barqaror deyiladi 
(2.9.1)
Umumiy yechimning tahlilidan (1.2.10) barqarorlik uchun zarur va etarli shart:
Tizimning barqarorligi uchun xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari qat'iy manfiy haqiqiy qismlarga ega bo'lishi zarur va etarli, ya'ni. Rep i , I = 1…n. (2.9.2)
Aniqlik uchun xarakteristik tenglamaning ildizlari odatda 2.9.1a-rasmda kompleks tekislikda tasvirlangan. Kerakli va etarli bo'lgan narsani qilganda
8.12-rasm. Ildiz tekisligi
xarakterli
tenglamalar A(p) = 0
OU - barqarorlik mintaqasi
Uchinchi shart (2.9.2) barcha ildizlar xayoliy o'qning chap tomonida yotadi, ya'ni. barqarorlik sohasida.
Shuning uchun (2.9.2) shartni quyidagicha shakllantirish mumkin.
Barqarorlik uchun xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari chap yarim tekislikda joylashgan bo'lishi zarur va etarli.
Turg'unlikning qat'iy umumiy ta'rifi, chiziqli bo'lmagan tizimlarning barqarorligini o'rganish usullari va chiziqli tizimning barqarorligi haqidagi xulosani dastlabki nochiziqli tizimga kengaytirish imkoniyati rus olimi A.M.Lyapunov tomonidan berilgan.
Amalda barqarorlik ko'pincha bilvosita, xarakterli tenglamaning ildizlarini to'g'ridan-to'g'ri topmasdan turib, barqarorlik mezonlari yordamida aniqlanadi. Bularga algebraik mezonlar kiradi: Stodola sharti, Xurvits va Mixaylov mezonlari, shuningdek, Nyquist chastota mezoni. Bunday holda, Nyquist mezoni yopiq konturli tizimning barqarorligini OFK tomonidan yoki ochiq tsiklli tizimning logarifmik xarakteristikalari bilan aniqlash imkonini beradi.
Stodola holati
Shartni 19-asr oxirida slovak matematigi Stodola olgan. Tizim barqarorligi shartlarini tushunish uchun metodologik nuqtai nazardan qiziqarli.
Sistemaning xarakteristik tenglamasini shaklda yozamiz
D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…a n = 0. (2.9.3)
Stodolning so'zlariga ko'ra, barqarorlik uchun bu zarur, ammo etarli emas a 0 > 0 qolgan barcha koeffitsientlar qat'iy ijobiy edi, ya'ni.
a 1 > 0 ,..., a n > 0.
Zaruriyat quyidagicha shakllantirilishi mumkin:
Agar tizim barqaror bo'lsa, u holda xarakteristik tenglamaning barcha ildizlari mavjud, ya'ni. chapchilardir.
Zaruriyatning isboti elementardir. Bezout teoremasiga ko'ra xarakterli ko'phadni quyidagicha ifodalash mumkin
, ya'ni haqiqiy son bo'lsin va 
- murakkab konjugat ildizlar. Keyin
Bu shuni ko'rsatadiki, haqiqiy koeffitsientlarga ega bo'lgan ko'phadda kompleks ildizlar juft konjugat bo'ladi. Bundan tashqari, agar , u holda bizda ijobiy koeffitsientli ko'phadlar hosilasi mavjud bo'lib, u faqat ijobiy koeffitsientli ko'phadni beradi.
Muvaffaqiyatsizlik Stodolaning ahvoli shundaki, bu holat hamma narsaga kafolat bermaydi. Buni darajali polinomni hisobga olgan holda aniq misolda ko'rish mumkin.
E'tibor bering, bu holda Stodola holati ham zarur, ham etarli. dan kelib chiqadi. Agar , keyin va shunga o'xshash.
Chunki kvadrat tenglamaning ildizlari formulasini tahlil qilishdan shartning etarliligi ham kelib chiqadi.
Stodola holatidan ikkita muhim oqibat kelib chiqadi.
1. Agar shart bajarilsa va tizim beqaror bo'lsa, u holda o'tish jarayoni tebranish xususiyatiga ega. Bu ijobiy koeffitsientli tenglama haqiqiy musbat ildizlarga ega bo'lmasligidan kelib chiqadi. Ta'rifga ko'ra, ildiz xarakterli polinomni yo'q qiladigan sondir. Hech qanday musbat son musbat koeffitsientli ko'phadni yo'qota olmaydi, ya'ni uning ildizi bo'la olmaydi.
2. Xarakterli polinom koeffitsientlarining ijobiyligi (mos ravishda Stodola shartining bajarilishi) salbiy teskari aloqada ta'minlanadi, ya'ni. yopiq halqa bo'ylab toq sonli signal inversiyalari holatida. Bunda xarakterli polinom. Aks holda va shunga o'xshashlarni keltirgandan so'ng, ba'zi koeffitsientlar salbiy bo'lishi mumkin.
E'tibor bering, salbiy teskari aloqa Stodola shartini bajarmaslik imkoniyatini istisno etmaydi. Misol uchun, agar , a , keyin bitta salbiy fikr bildirilgan taqdirda . Bu polinomda at koeffitsienti nolga teng. Salbiy koeffitsientlar yo'q, ammo shunga qaramay, shart qondirilmaydi, chunki bu tengsizliklarni qat'iy bajarishni talab qiladi.
Buni quyidagi misol tasdiqlaydi.
Misol 2.9.1. Stodola shartini shakldagi sxemaga qo'llang. 2.9.2.
Ochiq konturli birlik manfiy teskari aloqa tizimining uzatish funksiyasi teng va yopiq tizimning xarakteristik tenglamasi hisob va maxrajning yig'indisidir, ya'ni.
D(p) = p 2 +k 1 k 2 = 0.
A'zosi yo'qligi sababli R birinchi darajali ( a 1 = 0), keyin Stodola sharti qoniqtirilmaydi va tizim beqaror. Ushbu tizim tizimli ravishda beqaror, chunki hech qanday parametr qiymatlari mavjud emas k 1 va k 2 barqaror bo'lishi mumkin emas.
Tizimni barqaror qilish uchun siz qo'shimcha ulanish yoki tuzatuvchi havolani kiritishingiz kerak, ya'ni. tizimning tuzilishini o'zgartirish. Keling, buni misollar bilan ko'rsatamiz. Shaklda. 2.9.3. to'g'ridan-to'g'ri zanjir aloqasi uzatish funktsiyalari bilan ketma-ket bog'langan zvenolar bilan ifodalanadi va . Birinchi kirishga parallel ravishda qo'shimcha aloqa mavjud.
P 
Birlik manfiy ulanish bo'ylab ochiq konturning uzatish funktsiyasi va yopiq konturli tizimning xarakteristik tenglamasi mos ravishda tengdir.
,
Endi Stodola sharti har qanday kishi uchun qanoatlantiriladi 
. Ikkinchi darajali tenglamada bu nafaqat zarur, balki etarli bo'lganligi sababli, tizim har qanday ijobiy daromad omillari uchun barqarordir.
2.9.4-rasmda sxemaga ketma-ket majburlash rishtasi kiritilgan. Bu holda ochiq tutashuvli bitta salbiy ulanish tizimining uzatish funktsiyasi tengdir 
yopiq sistemaning xarakteristik tenglamasi esa teng
Avvalgisiga o'xshash tizim har qanday ijobiy uchun barqaror .
Russ-Hurvits barqarorlik mezoni
Matematiklar Russ (Angliya) va Xurvits (Shveytsariya) bu mezonni taxminan bir vaqtning o'zida ishlab chiqdilar. Farqi hisoblash algoritmida edi. Xurvits formulasidagi mezon bilan tanishamiz.
Xurvitsning fikricha, barqarorlik uchun bu zarur va yetarli a 0 > 0 Hurvits determinanti = n va uning barcha asosiy voyaga etmaganlari 1 , 2 ,..., n -1 qat'iy ijobiy edi, ya'ni.
(2.9.4)
Xurvits determinantining tuzilishini eslab qolish oson, chunki koeffitsientlar asosiy diagonal bo'ylab joylashgan. A 1 ,… , A n, chiziqlar bitta bilan ajratilgan koeffitsientlarni o'z ichiga oladi, agar ular tugasa, bo'sh joylar nol bilan to'ldiriladi.
2.9.2-misol. Xurvits barqarorligi uchun to'g'ridan-to'g'ri zanjirida uchta inertial bo'g'inlar mavjud bo'lgan va shuning uchun ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi (2.9.5) ko'rinishga ega bo'lgan birlik salbiy teskari aloqaga ega tizimni o'rganish uchun.
Yopiq sistemaning xarakteristik tenglamasini pay va maxraj yig‘indisi sifatida yozamiz (2.9.5):
Demak,
Xurvits determinanti va uning kichiklari shaklga ega
hisob bilan a 0 > 0, Hurvits determinanti va kichiklarning qat'iy pozitivligi (2.9.6) Stodola shartini va qo'shimcha ravishda shartni nazarda tutadi. a 1 a 2 - a 0 a 3 > 0, bu koeffitsientlar qiymatlarini almashtirgandan keyin beradi
(T 1 T 2 + T 1 T 3 +T 2 T 3 )(T 1 +T 2 +T 3 ) > T 1 T 2 T 3 (1+ k) . (2.9.7)
Bundan ko'rinib turibdiki, ortib bormoqda k tizim barqarordan beqarorga aylanishi mumkin, chunki tengsizlik (2.9.7) qondirishni to'xtatadi.
Tizimning xato bilan uzatish funktsiyasi teng
Asl nusxaning yakuniy qiymati haqidagi teoremaga ko'ra, bir bosqichli signalni qayta ishlashda barqaror holat xatosi 1/(1+) ga teng bo'ladi. k). Shunday qilib, barqarorlik va aniqlik o'rtasida ziddiyat paydo bo'ladi. Xatoni kamaytirish uchun siz oshirishingiz kerak k, lekin bu barqarorlikni yo'qotishiga olib keladi.
Argument printsipi va Mixaylovning barqarorlik mezoni
Mixaylov mezoni argument printsipi deb ataladigan narsaga asoslanadi.
Bezout teoremasiga ko'ra, ko'rinishda ifodalanishi mumkin bo'lgan yopiq tsiklli tizimning xarakterli polinomini ko'rib chiqaylik.
D(p) = a 0 p n + a 1 p n- 1 +…+a n = a 0 (p - p 1 )…(p - p n ).
Keling, almashtirishni amalga oshiramiz p = j
D(j ) = a 0 (j ) n + a 1 (j ) n- 1 +…+a n = a 0 (j - p 1 )…(j - p n ) = X( )+jY( ).
Muayyan qiymat uchun parametrik tenglamalar bilan berilgan kompleks tekislikdagi nuqtaga ega
E 
o'zgartirilsa
- dan gacha bo'lgan oraliqda, keyin Mixaylov egri chizig'i, ya'ni godograf chiziladi. Keling, vektorning aylanishini o'rganamiz D(j
)
o'zgarganda
- dan gacha, ya’ni vektor argumentining o’sishini topamiz (argument vektorlar ko’paytmasining yig’indisiga teng): 
.
Da = - farq vektori, uning boshlanishi nuqtada R i, va xayoliy o'qdagi uchi vertikal pastga yo'naltiriladi. O'sganingizda vektorning oxiri xayoliy o'q bo'ylab siljiydi va qachon = vektor vertikal yuqoriga yo'naltirilgan. Agar ildiz qoldirilsa (2.9.19a-rasm), keyin arg = + , va agar ildiz to'g'ri bo'lsa, unda arg = - .
Agar xarakteristik tenglama mavjud bo'lsa m o'ng ildizlar (mos ravishda n - m chap), keyin 
.
Bu argumentning printsipi. Haqiqiy qismni tanlashda X(
)
va xayoliy Y(
)
nisbat berdik X(
)
o'z ichiga olgan barcha shartlar j
teng darajaga va to Y(
)
- g'alati darajada. Shuning uchun Mixaylov egri chizig'i haqiqiy o'qga nisbatan simmetrikdir ( X(
)
- hatto, Y(
)
- toq funksiya). Natijada, agar siz o'zgartirsangiz
0 dan + gacha, u holda argument o'sishi yarmi katta bo'ladi. Shu munosabat bilan, nihoyat argument tamoyili quyidagicha shakllantiriladi 
.
(2.9.29)
Agar tizim barqaror bo'lsa, ya'ni. m= 0, keyin biz Mixaylov barqarorlik mezonini olamiz.
Mixaylovning so'zlariga ko'ra, barqarorlik uchun bu zarur va etarli
,
(2.9.30)
ya'ni Mixaylov egri chizig'i ketma-ket o'tishi kerak n
Shubhasiz, Mixaylov mezonini qo'llash uchun egri chiziqni aniq va batafsil qurish talab qilinmaydi. Uning koordinatalarning kelib chiqishi atrofida qanday o'tishini va o'tish ketma-ketligi buzilganligini aniqlash muhimdir. n chorak soat miliga teskari.
Misol 2.9.6. 2.9.20-rasmda ko'rsatilgan tizimning barqarorligini tekshirish uchun Mixaylov mezonini qo'llang.
Yopiq sikl sistemaning xarakteristik polinomi at k 1 k 2 > 0 barqaror tizimga mos keladi, shuning uchun Stodola sharti qondiriladi va uchun n = 1 etarli. Siz to'g'ridan-to'g'ri ildizni topishingiz mumkin R 1 = - k 1 k 2 va kerakli va etarli barqarorlik sharti qondirilganligiga ishonch hosil qiling. Shuning uchun Mixaylov mezonini qo'llash illyustrativdir. Ishonish p= j , olamiz
D(j ) = X( )+ jY( ),
Qayerda X( ) = ; Y( ) = . (2.9.31)
Parametrik tenglamalardan (2.9.31) foydalanib, Mixaylovning godografi 2.9.21-rasmda tuzilgan, undan ko'rinib turibdiki, o'zgartirilganda. 0 dan vektorgacha D(j ) soat miliga teskari + ga aylanadi /2, ya'ni. tizim barqaror.
Nyquist barqarorlik mezoni
TO 
Yuqorida aytib o'tilganidek, Nyquist mezoni barqarorlik mezonlari orasida alohida o'rin tutadi. Bu ochiq tsiklli tizimning chastotali xarakteristikalari asosida yopiq tizimning barqarorligini aniqlash imkonini beruvchi chastota mezoni. Bunday holda, tizim yagona salbiy teskari aloqa zanjirida ochiq deb hisoblanadi (2.9.22-rasm).
Nyquist mezonining afzalliklaridan biri shundaki, ochiq tsiklli tizimning chastotali xarakteristikalari eksperimental ravishda olinishi mumkin.
Mezonni chiqarish argument tamoyilidan foydalanishga asoslanadi. Ochiq tsiklli tizimning uzatish funktsiyasi (2.9.22-rasmdagi yagona salbiy teskari aloqa sxemasi orqali) ga teng. 
Keling, ko'rib chiqaylik. (2.9.32)
Cheklangan tarmoqli kengligi bo'lgan haqiqiy tizimda ochiq tsiklli uzatish funktsiyasining maxraji darajasi P numeratorning kuchidan kattaroq, ya'ni. n> . Demak, ochiq sikl sistemasi va yopiq sikl sistemasining xarakteristik polinomlarining darajalari bir xil va tengdir. n. (2.9.32) ga binoan ochiq tizimli OFKdan OFKga o'tish real qismning 1 ga oshishini bildiradi, ya'ni. koordinatalar boshini 2.9.23-rasmda ko'rsatilganidek (-1, 0) nuqtaga ko'chirish.
Endi faraz qilaylik, yopiq sikl sistemasi barqaror, ochiq sikl sistemaning xarakteristik tenglamasi: A(p) = 0 bor m to'g'ri ildizlar. Keyin, argument printsipiga (2.9.29) muvofiq, Nyquist bo'yicha yopiq tsiklli tizimning barqarorligi uchun zarur va etarli shartni olamiz.
Bular. yopiq tsiklli tizim vektorining barqarorligi uchun V 1 (j ) qilish kerak m/2 to'liq burilish soat sohasi farqli o'laroq, bu vektorni aylantirishga teng V pa z (j ) kritik nuqtaga nisbatan (-1,0).
Amalda, qoida tariqasida, ochiq-oydin tizim barqaror, ya'ni. m= 0. Bunday holda, argumentning o'sishi nolga teng, ya'ni. Ochiq davrli tizimning OFK kritik nuqtani (-1,0) qamrab olmasligi kerak.
LAC va LFC uchun Nyquist mezoni
Amalda, ochiq tsiklli tizimning logarifmik xarakteristikalari ko'proq qo'llaniladi. Shuning uchun ular asosida yopiq konturli tizimning barqarorligini aniqlash uchun Nyquist mezonini shakllantirish maqsadga muvofiqdir. Kritik nuqtaga (-1,0) nisbatan OFK inqiloblari soni va u qoplanganmi yoki yo'qmi
real o'qning (-,-1) oralig'ining ijobiy va salbiy kesishishlari soniga va shunga mos ravishda mintaqadagi faza xarakteristikasi bo'yicha -180 ° chiziqning kesishmalariga bog'liq. L( ) 0. 2.9.24-rasmda OFK ko'rsatilgan va haqiqiy o'q segmentining (-,-1) kesishish belgilari ko'rsatilgan.
Adolatli qoida
ijobiy va salbiy kesishmalar soni qayerda.
2.9.24c-rasmdagi AFC asosida LAC va LFC quriladi, 2.9.25-rasmda ko'rsatilgan va LFCda ijobiy va salbiy kesishmalar belgilangan. Segmentda (-,-1) modul bittadan katta, bu mos keladi L( ) > 0. Shuning uchun, Nyquist mezoni:
D 
Yopiq tizimning barqarorligi uchun ochiq-oydin tizimning LFC qaerda mintaqada L(
)
>
0, -180 ° chizig'ining salbiydan ko'ra ko'proq ijobiy kesishmalariga ega bo'lishi kerak.
Agar ochiq aylanish tizimi barqaror bo'lsa, mintaqadagi faza xarakteristikasi bo'yicha -180 ° chizig'ining ijobiy va salbiy kesishishlari soni. L( ) > Yopiq tizimning barqarorligi uchun 0 bir xil bo'lishi kerak yoki hech qanday kesishmalar bo'lmasligi kerak.
Astatik tizim uchun Nyquist mezoni
Ayniqsa, astatik tartib sistemasini ko'rib chiqish zarur r ga teng bo'lgan ochiq tsiklli tizim uzatish funktsiyasi bilan
.
Ushbu holatda 
0 da, ya'ni ochiq tsiklli tizimning amplituda-fazali xarakteristikasi (APC) abadiylikka o'tadi. Ilgari, biz o'zgartirish paytida AFH qurdik
- dan gacha va u uzluksiz egri chiziq edi, yopildi
= 0. Endi u ham yopiladi
= 0, lekin cheksizlikda va haqiqiy o'qning qaysi tomonida (cheksizlikda chapda yoki o'ngda?) aniq emas.
2.9.19c-rasmda bu holda farq vektori argumentining o'sishini hisoblashda noaniqlik mavjudligi ko'rsatilgan. Endi u har doim xayoliy o'q bo'ylab joylashgan (to'g'ri keladi j ). Faqat nolni kesib o'tganda yo'nalish o'zgaradi (bu holda vektor soat miliga teskari tomonga buriladi yoki soat yo'nalishi bo'yicha -?), Aniqlik uchun biz shartli ravishda ildiz chapda va koordinata boshining yaxlitlanishi cheksiz kichik radiusli yoy bo'ylab soat miliga teskari yo'nalishda sodir bo'ladi (+ ga aylanish) ). Shunga ko'ra, yaqin atrofda = 0 shaklida ifodalanadi
,
Qayerda = + o'zgarganda dan – 0 dan + 0 gacha. Oxirgi ifoda shuni ko'rsatadiki, noaniqlikning bunday oshkor etilishi bilan OFK o'zgarish bilan aylanadi. burchak uchun - 0 dan + 0 gacha - soat yo'nalishi bo'yicha. OFK mos ravishda tuzilgan bo'lishi kerak = 0 burchak ostida radiusning cheksiz yoyi bilan to'ldiriladi , ya'ni musbat real yarim o'qga soat miliga teskari.
Modul va faza bo'yicha barqarorlik chegaralari
Tizim parametrlari o'zgarganda barqarorlikni ta'minlash uchun modul va fazada barqarorlik chegaralari kiritiladi, ular quyidagicha aniqlanadi.
Barqarorlik marjasi moduli tizim barqaror bo'lib qolishi uchun (barqarorlik chegarasida) daromadni necha marta yoki qancha desibel oshirish yoki kamaytirish joizligini ko'rsatadi. Bu min( L 3 , L 4) 2.9.25-rasmda. Haqiqatan ham, agar siz LFC-ni o'zgartirmasangiz, LFC ko'tarilganda L 4 kesish chastotasi cp nuqtaga o'tadi 4 va tizim barqarorlik chegarasida bo'ladi. Agar siz LAX ga tushirsangiz L 3, keyin kesish chastotasi chapdan nuqtaga siljiydi 3 va tizim ham barqarorlik chegarasida bo'ladi. Agar biz LAXni undan ham pastga tushirsak, mintaqada L( ) > 0 faqat LFC chizig'ining salbiy kesishishi bo'lib qoladi -180 °, ya'ni. Nyquist mezoniga ko'ra, tizim beqaror bo'ladi.
Faza barqarorligi chegarasi tizim barqaror bo'lib qolishi uchun (barqarorlik chegarasida) doimiy daromad bilan faza almashinuvini qanchalik oshirish joizligini ko'rsatadi. U to'ldiruvchi sifatida belgilanadi ( cf) -180° gacha.
Amalda L 12-20 dB, 20-30°.
