Системой счисления называется метод записи чисел в виде комбинаций графических символов. Число – это некоторая абстрактная сущность для описания количества, а цифры – знаки, используемые для записи чисел. В наше время самыми распространёнными являются арабские цифры, менее распространены римские цифры. Система римских цифр основана на употреблении особых знаков для десятичных разрядов: I=1, X=10, C=100, M=1000 и их половин: V=5, L=50, D=500. Существует множество других способов записи чисел. Например, древние греки использовали для этой цели буквы своего алфавита, а древние шумеры – клинописные знаки. Существуют позиционные и непозиционные системы счисления.
Позиционная система счисления – система записи чисел в виде последовательности символов, в которой численное значение каждого символа зависит от его положения в записи .
Примером позиционной системы является хорошо известная десятичная система счисления. Примером непозиционной системы – римская система. Выполнение арифметических действий над числами в непозиционной системе весьма неудобно. Поэтому позиционные системы в настоящее время получили наибольшее распространение.
Изобретение позиционной системы приписывается шумерам и вавилонянам. Затем она была развита индусами. В средневековой Европе позиционная десятичная система появилась благодаря итальянским купцам, которые заимствовали её у мусульман. В 9 веке великий арабский математик Мухаммед ибн Мусе Аль Хорезми впервые описал десятичную систему исчисления и правила выполнения простых арифметических действий в ней. В 12 веке его работы были переведены на латинский язык, благодаря чему Европа смогла познакомиться с этим изобретением человеческого ума.
Десятичная система
Существуют различные
позиционные системы исчисления,
отличающиеся между собой количеством
используемых знаков. Чтобы различать
числа в разных системах исчисления, в
конце числа ставят индекс – символ
системы. Например, запись
означает обычное число 483,56 в десятичной
системе счисления, а запись
означает совсем другое число (хотя и
похожее по виду) вшестнадцатеричной
системе счисления
(в десятичной оно равно 1155,335938). Если из
контекста понятно, что используется
только десятичная система (или только
шестнадцатеричная, или какая-нибудь
другая), то при записи числа индекс
обычно опускают.
Десятичная система использует десять различных знаков: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 – которые обозначают натуральные числа в порядке их возрастания от нуля до девяти. Число 10 является основанием десятичной системы. Оно не имеет специального знака, а обозначается с помощью двух первых символов этой системы.
Например, запись
483,56 в десятичной системе означает, что
данное число складывается из четырех
сотен (
),
восьми десяток (
),
трех единиц (
),
пяти десятых частей единицы (
)
и шести сотых частей единицы (
).
Другими словами, мы можем записать:
Двоичная система
Двоичная (бинарная) система счисления является самой простой из всех позиционных систем. Она содержит только два символа 0 и 1, и используется в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности. Двоичная система была изобретена великим немецким ученым Готфридом Вильгельмом Лейбницем (1646-1716), который использовал ее в созданной им механической счетной машине. В первом столбце табл. 2.1 приведены десятичные числа, а во втором – соответствующие им двоичные числа.
Таблица 2.1
Предположим, что нам нужно преобразовать двоичное число с дробной частью 1100,1011 в более привычное десятичное число. В табл. 2.2 показано, как осуществляется такое преобразование.
Таблица 2.2
|
Двоичное число |
Десятичное число |
|||||||
|
Целая часть |
Дробная часть |
|||||||
|
|
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
+ |
=
|
Обратное
преобразование десятичного числа d
в двоичное число (бинарный код)
осуществляется в соответствии со
следующим алгоритмом. Присваиваем числу
d
индекс
(
),
и ищем целое число
,
удовлетворяющее неравенству
,
. (2.2)
Если
,
то задача выполнена – искомое двоичное
число содержит единицу в старшем разряде
и
нулей за ней.
Если
,
то вычисляем разность
,
и ищем для нее соответствующее число
,
пользуясь формулой (2.2) с
.
Операцию вычисления разницы
и нахождения
повторяем до тех пор, пока при каком-либо
не выполнится условие:
.
Очевидно, что
(т.е.
).
При построении искомого бинарного числа
используют правило: численные значения
соответствуют разрядам бинарного кода,
в котором стоят единицы. Остальные
разряды заполняются нулями.
Используем это правило для нахождения бинарного кода десятичного числа 108,5. Согласно формуле (2.2), получаем: .
Искомое двоичное число равно: 1101100,1. Первая единица слева в записи числа соответствует 6 разряду, вторая за ней – пятому разряду. Четвертого разряда нет, поэтому за двумя первыми единицами записываем ноль. Третий и второй разряды есть – после нуля записываем две единицы. Единичного и нулевого разрядов также нет – после двух единиц записываем два нуля. Минус первый разряд есть – поэтому после запятой записываем единицу.
Арифметические
операции в двоичной системе осуществляются
так же, как и в десятичной («столбиком»).
Например, возьмем числа 0111 (
)
и 0101 (
),
и произведем операции сложения и
умножения:
,
В результате
получим 1100 (
)
и 100011 (
),
что и следовало ожидать.
Код Грея
Помимо двоичных чисел на практике применяются и другие коды, использующие два знака: 0 и 1. В этом разделе мы познакомимся с кодом Грея. При сортировке данных естественным представлением является обычное целочисленное описание, поскольку среди десяти цифр каждая на 1 больше предыдущей. При переходе к двоичному описанию эта естественность исчезает. Рассмотрим битовое представление чисел 6, 7, 8 и 9:
0110 0111 1000 1001.
Числа 6 и 7, а также 8 и 9 отличаются друг от друга на один бит. Однако числа 7 и 8 не имеют между собой ничего общего! Это свойство представления может вызвать большие проблемы при решении задач, требующих систематизации числовых данных. Для решения проблемы неоднородности представления используется код Грея.
Код Грея – система нумерации, в которой два соседних значения различаются только в одном разряде .
Код Грея показан в третьем столбце табл. 2.1. Наиболее часто на практике применяется рефлексивный двоичный код Грея , хотя в общем случае существует бесконечное множество кодов Грея для систем счисления с любым основанием. В большинстве случаев, под термином «код Грея» понимают именно рефлексивный бинарный код Грея. Название рефлексный (отражённый) двоичный код происходит от факта, что вторая половина значений в коде Грея эквивалентна первой половине, только в обратном порядке, за исключением старшего бита, который просто инвертируется. Если же разделить каждую половину ещё раз пополам, свойство будет сохраняться для каждой из половин половины и т.д.
Код Грея был разработан Фрэнком Греем, исследователем Bell Labs. Он использовал этот код в своей импульсной системе связи (на него был получен патент № 2632058).
При преобразовании
бинарного кода в десятичное число мы
умножаем ноль или единицу на
,
где
– номер позиции бита в бинарном коде
(;
и т.д.), а затем суммируем полученные
результаты.
При преобразовании
кода Грея в десятичное число мы умножаем
ноль или единицу на (
),
где
– номер позиции бита в коде Грея (;
и т.д.). Дальше вычитаем из результата,
соответствующего старшей единице,
результат, соответствующий единице
меньшего разряда, прибавляем результат,
соответствующий единице еще более
меньшего разряда и т.д. (смотри последний
столбец табл. 2.1).
Троичная система счисления
Троичная система счисления – позиционная система счисления с целочисленным основанием равным 3. Она существует в двух вариантах: несимметричная и симметричная троичные системы. Несимметричная система обычно использует символы: 0, 1 и 2. Симметричная: –1, 0, +1. В табл. 2.3 показаны десятичные числа и соответствующие им числа в троичной системе счисления.
Таблица 2.3
|
Десятичная | |||||||||||||
|
Троичная несимметричная | |||||||||||||
|
Троичная симметричная |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Элементы троичной системы существовали еще у древних шумеров. Полноценную симметричную троичную систему впервые предложил итальянский математик Фибоначчи (Леонардо Пизанский ) (1170–1250). Симметричная троичная система позволяет изображать отрицательные числа, не используя отдельный знак минуса.
В момент зарождения компьютерной техники троичная система составляла серьезную конкуренцию двоичной системе. Ее преимущество заключается в том, что она обеспечивает наибольшую плотность записи чисел по сравнению с другими целочисленными системами. Поясним это на следующем примере.
Предположим, что
в компьютере мы используем числа в
позиционной системе с целочисленным
основанием
.
При этом каждое число имеет максимум
разрядов. Значит, для сохранения числа
в памяти компьютера требуется
ячеек памяти, причем каждая ячейка
должна быть способна находиться в
состояниях. Аппаратные затраты составляют:
.
Используя систему
с основанием
и
разрядов, мы способны представить
различных чисел. Эффективность применяемой
в компьютере системы счисления можно
оценить с помощью следующего числового
критерия:
.
(2.3)
Чем больше чисел мы можем представить в данной системе счисления, и чем меньше при этом аппаратные затраты, тем эффективнее система по данному критерию.
Чаще критерий эффективности используют в такой форме
. (2.4)
Практически
критерий (2.4) равнозначен критерию (2.3),
однако удобнее в использовании.
Равнозначность основана на факте: если
,
то
.
График функции
показан на рис. 2.1.
Рис.2.1. График
функции
Эта функция имеет
максимум для
.
При целых значениях
максимум достигается для
= 3.
;
;
.
Таким образом, наиболее эффективной по критерию (2.4) является троичная система счисления (используемая в троичных компьютерах), следом за которой идут двоичная система счисления (традиционно используемая в большинстве распространённых компьютеров) и четверичная система счисления.
В 1958 году Николай Петрович Брусенцов из МГУ построил первую серийную электронную троичную ЭВМ «Сетунь» на ячейках из ферритдиодных магнитных усилителей переменного тока, работавших в двухбитном троичном коде, четвёртое состояние двух битов не использовалось. В 1970 году Брусенцов построил вторую серийную электронную троичную ЭВМ «Сетунь-70».
В 1973 году в США впервые был создан экспериментальный троичный компьютер, а в 2008 году там же была построена троичная цифровая компьютерная система TCA2 на 1484-х интегральных транзисторах.
Тем не менее, в настоящее время двоичные компьютеры доминируют в компьютерной технике благодаря своей простоте и высокой надежности.
Восьмеричная и шестнадцатеричная системы счисления
Позиционную систему счисления можно построить по любому основанию. Однако наибольшее практическое значение имеют: двоичная, десятичная, восьмеричная и шестнадцатеричная. Причем, последние две используются, в основном, не для вычислений, а для представления двоичного кода в форме, удобной для человека.
В табл. 2.4 представлено 24-битное двоичное слово и соответствующие ему 8-ричный и 16-ричный коды.
Таблица 2.4
|
Двоичный код |
1011001111000101100010112 |
|
Восьмеричный код | |
|
Шестнадцатеричный код |
Очевидно, что человеку легче воспринимать двоичный код в форме 8-ричного или 16-ричного кодов. При использовании 8-ричного кода три бита двоичного слова преобразуются в один символ. При использовании 16-ричного слова каждые четыре бита двоичного слова преобразуются в один символ. В табл. 2.5 показано, как осуществляется это преобразование. Как можно видеть, шестнадцатеричные числа обозначаются с помощью 10 арабских цифр и шести букв латинского алфавита.
Система счисления – это совокупность символов, используемых для изображения чисел.
Система счисления включает в себя: алфавит, т. е. набор символов для записи чисел, способ записи чисел, способ чтения чисел. Они делятся на два класса: позиционные и непозиционные
Позиционными называются системы счисления, в которых значение цифры зависит от ее места (позиции) в записи числа. Непозиционными называются системы счисления, в которых значение цифры не зависит от ее места (позиции) в записи числа.
Позиционной является привычная для нас в повседневной жизни десятичная система счисления, в которой значение (вес) цифры зависит от ее позиции в записи числа. В числе 1111 одна и та же цифра 1 означает последовательно единицу, десяток, сотню, тысячу.
Все системы счисления, используемые в информатике (двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.), являются позиционными. Это важно, т. к. правила образования чисел, перевода из одной системы в другую, выполнения арифметических операций во всех позиционных системах аналогичны.
Непозиционной системой счисления является, например, римская. Правила выполнения арифметических операций в непозиционных системах счисления совсем иные.
В 2-ной системе основание равно 2, т.е. используется всего 2 цифры - 0 и 1. В 8-ной основание равно 8, используются цифры от 0 до 7. В 16-ной системе основание равно 16, используются цифры от 0 до 15. Использование цифр 10, 11, 12, 13, 14, 15 в записи чисел неудобно, т. к. трудно отличить, например, цифру 12 от двух цифр – 1 и 2. Поэтому условились цифры от 10 до 15 обозначать латинскими буквами в порядке алфавита A, B, C, D, E, F.
Позиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры определяется ее положением (позицией) в числе.
Позиция цифр называется разрядом числа. Позиционные системы счисления различают по их основаниям, где основание – это число цифр, используемых в системах счисления.
Например: двоичная система счисления (А2), восьмеричная система счисления (А8) т.д.
Непозиционные системы счисления – это системы, в которых величина цифры не определяется ее положением (позицией) в числе.
Например: римская система счисления (II, V, XII)
Система счисления - это совокупность правил и приемов записи чисел с помощью набора цифровых знаков.
Различают два типа систем счисления:
позиционные, когда значение каждой цифры числа определяется ее позицией в записи числа;
непозиционные, когда значение цифры в числе не зависит от ее места в записи числа.
В системе счисления различают понятия числа и цифры:
число - это некоторая абстрактная сущность для описания количества (определение из Википедии);
цифры - это знаки, используемые для записи чисел.
Позиционные системы счисления - это системы счисления, в которых значение цифры напрямую зависит от её положения в числе.
Например, число 21 обозначает двадцать один, 12 - двенадцать.
В позиционных системах счисления Позиционные системы счисления позволяют легко производить арифметические расчёты.
Представление чисел с помощью арабских цифр - самая распространённая позиционная система счисления, она называется «десятичной системой счисления». Десятичной системой она называется потому, что использует десять цифр: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 и 9. Заметьте: максимальная цифра (9) на единичку меньше количества цифр (10).
Для составления машинных кодов удобно использовать не десятичную, а двоичную систему счисления, содержащую только две цифры, 0 и 1. Обратите внимание, что в двоичной системе максимальная цифра 1.
Количество цифр, необходимых для записи числа в системе, называют основанием системы счисления. Основание системы записывается в справа числа в нижнем индексе: 28; 102; 24А16 и т.д.
В десятичной системе основание равно десяти, в двоичной системе - двум, ну а в восьмеричной и шестнадцатеричной - соответственно, восьми и шестнадцати. То есть в р-ичной системе счисления количество цифр равно р и используются цифры от 0 до р-1.
В общем случае в позиционной системе счисления числа представляются следующим образом: (anan − 1...a0)f, где a0,a1,...,an - цифры, а f - основание системы счисления. Если используется десятичная система, то основание f можно опустить.
Примеры чисел:
110012 - число в двоичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 0,a2 = 0,a3 = 1,a4 = 1;
2213 - число в троичной системе счисления, a0 = 1,a1 = 2,a2 = 2;
318 - число в восьмеричной системе счисления, a0 = 1,a1 = 3;
2510 - число в десятичной системе счисления, a0 = 5,a1 = 2;
F2116 – число в шестнадцатеричной системе счисления, а0 = 1, а1 = 2, а3 = F.
В позиционных системах счисления числа, как правило, представляются в двух формах: в привычной для нас – свернутой и развернутой.
Развернутая форма числа а в р-ичной системе счисления имеет вид:
apn-1+apn-2+ apn-3+…+a0
где а – число;
р – система счисления;
n – количество разрядов числа.
Если число дробное, то развернутая форма числа в р-ичной системе счисления будет иметь следующий вид:
apn-1+apn-2+ apn-3+…+aр0, ap-1+ ap-2…+ ap-m
где а – число;
р – система счисления;
n – количество разрядов числа;
m – количество разрядов числа после запятой
Таблица систем счисления
Основание системы счисления (р)
На ранних ступенях развития общества люди почти не умели считать. Они различали совокупности двух и трех предметов; всякая совокупность, содержавшая бóльшее число предметов, объединялась в понятии «много». Предметы при счете сопоставлялись обычно с пальцами рук и ног. По мере развития цивилизации потребность человека в счете стала необходимой. Первоначально натуральные числа изображались с помощью некоторого количества черточек или палочек, затем для их изображения стали использовать буквы или специальные знаки. В древнем Новгороде использовалась славянская система, где применялись буквы славянского алфавита; при изображении чисел над ними ставился знак ~ (титло).
Древние римляне пользовались нумерацией, сохраняющейся до настоящего времени под именем «римской нумерации», в которой числа изображаются буквами латинского алфавита. Сейчас ею пользуются для обозначения юбилейных дат, нумерации некоторых страниц книги (например, страниц предисловия), глав в книгах, строф в стихотворениях и т.д. В позднейшем своем виде римские цифры выглядят так:
I = 1; V = 5; X = 10; L = 50; С = 100; D = 500; M = 1000.
О происхождении римских цифр достоверных сведений нет. Цифра V могла первоначально служить изображением кисти руки, а цифра Х могла составиться из двух пятерок. В римской нумерации явственно сказываются следы пятеричной системы счисления. Все целые числа (до 5000) записываются с помощью повторения вышеприведенных цифр. При этом, если бóльшая цифра стоит перед меньшей, то они складываются, если же меньшая стоит перед бóльшей (в этом случае она не может повторяться), то меньшая вычитается из бóльшей). Например, VI = 6, т.е. 5 + 1, IV = 4, т.е. 5 – 1, XL = 40, т е. 50 – 10, LX = 60, т.е. 50 + 10. Подряд одна и та же цифра ставится не более трех раз: LXX = 70; LXXX = 80; число 90 записывается ХС (а не LXXXX).
Первые 12 чисел записываются в римских цифрах так:
I, II, III, IV, V, VI, VII, VIII. IX, X, XI, XII.
Другие же числа записываются, например, как:
XXVIII = 28; ХХХIХ = 39; CCCXCVII = 397; MDCCCXVIII = 1818.
Выполнение арифметических действий над многозначными числами в этой записи очень трудно. Тем не менее, римская нумерация преобладала в Италии до 13 в., а в других странах Западной Европы – до 16 в.
В славянской системе нумерации для записи чисел использовались все буквы алфавита, правда, с некоторым нарушением алфавитного порядка. Различные буквы означали различное количество единиц, десятков и сотен. Например, число 231 записывалось в виде ~ СЛА (C – 200, Л – 30, А – 1).
Этим системам свойственны два недостатка, которые привели к их вытеснению другими: необходимость большого числа различных знаков, особенно для изображения больших чисел, и, что еще важнее неудобство выполнения арифметических операций.
Более удобной и общепринятой и наиболее распространенной является десятичная система счисления, которая была изобретена в Индии, заимствована там арабами и затем через некоторое время пришла в Европу. В десятичной системе счисления основанием является число 10.
Существовали системы исчисления и с другими основаниями. В Древнем Вавилоне, например, применялась шестидесятеричная система счисления. Остатки ее мы находим в сохранившемся до сих пор делении часа или градуса на 60 минут, а минуты – на 60 секунд.
Широкое распространение имела в древности и двенадцатеричная система, происхождение которой, вероятно, связано, как и десятичной системы, со счетом на пальцах: за единицу счета принимались фаланги (отдельные суставы) четырех пальцев одной руки, которые при счете перебирались большим пальцем той же руки. Остатки этой системы счисления сохранились и до наших дней и в устной речи, и в обычаях. Хорошо известно, например, название единицы второго разряда – числа 12 – «дюжина». Сохранился обычай считать многие предметы не десятками, а дюжинами, например, столовые приборы в сервизе или стулья в мебельном гарнитуре. Название единицы третьего разряда в двенадцатеричной системе – гросс – встречается теперь редко, но в торговой практике начала столетия оно еще бытовало. Например, в написанном в 1928 стихотворении Плюшкин В.В.Маяковский, высмеивая людей, скупающих все подряд, писал: «...укупил двенадцать гроссов дирижерских палочек». У ряда африканских племен и в Древнем Китае была употребительна пятеричная система счисления. В Центральной Америке (у древних ацтеков и майя) и среди населявших Западную Европу древних кельтов была распространена двадцатеричная система. Все они также связаны со счетом на пальцах.
Самой молодой системой счисления по праву можно считать двоичную. Эта система обладает рядом качеств, делающей ее очень выгодной для использования в вычислительных машинах и в современных компьютерах.
Позиционные и непозиционные системы счисления.
Разнообразные системы счисления, которые существовали раньше и которые используются в наше время, можно разделить на непозиционные и позиционные. Знаки, используемые при записи чисел, называются цифрами.
В непозиционных системах счисления от положения цифры в записи числа не зависит величина, которую она обозначает. Примером непозиционной системы счисления является римская система, в которой в качестве цифр используются латинские буквы.
В позиционных системах счисления величина, обозначаемая цифрой в записи числа, зависит от ее позиции. Количество используемых цифр называется основанием системы счисления. Место каждой цифры в числе называется позицией. Первая известная нам система, основанная на позиционном принципе – шестидесятeричная вавилонская. Цифры в ней были двух видов, одним из которых обозначались единицы, другим – десятки.
Однако наиболее употребительной оказалась индо-арабская десятичная система. Индийцы первыми использовали ноль для указания позиционной значимости величины в строке цифр. Эта система получила название десятичной, так как в ней десять цифр.
Различие между позиционой и непозиционной систем счисления легче всего понять на примере сравнения двух чисел. В позиционной системе счисления сравнение двух чисел происходит следующим образом: в рассматриваемых числах слева направо сравниваются цифры, стоящие в одинаковых позициях. Бóльшая цифра соответствует бóльшему значению числа. Например, для чисел 123 и 234, 1 меньше 2, поэтому число 234 больше, чем число 123. В непозиционной системе счисления это правило не действует. Примером этого может служить сравнение двух чисел IX и VI. Несмотря на то, что I меньше, чем V, число IX больше, чем число VI.
Позиционные системы счисления.
Основание системы счисления, в которой записано число, обычно обозначается нижним индексом. Например, 555 7 – число, записанное в семеричной системе счисления. Если число записано в десятичной системе, то основание, как правило, не указывается. Основание системы – это тоже число, и его мы будем указывать в обычной десятичной системе. Вообще, число x может быть представлено в системе с основанием p , как x = a n ·p n +a n – 1·p n –1 + a 1·p 1 + a 0·p 0, где a n ...a 0 – цифры в представлении данного числа. Так, например,
1035 10 =1·10 3 + 0·10 2 + 3·10 1 + 5·10 0 ;
1010 2 = 1·2 3 + 0·2 2 + 1·2 1 + 0·2 0 = 10.
Наибольший интерес при работе на ЭВМ представляют системы счисления с основаниями 2, 8 и 16. Вообще говоря, этих систем счисления обычно хватает для полноценной работы как человека, так и вычислительной машины, однако иногда в силу различных обстоятельств все-таки приходится обращаться к другим системам счисления, например к троичной, семеричной или системе счисления по основанию 32.
Чтобы оперировать с числами, записанными в таких нетрадиционных системах, нужно иметь в виду, что принципиально они ничем не отличаются от привычной десятичной. Сложение, вычитание, умножение в них осуществляется по одной и той же схеме.
Почему же не используются другие системы счисления? В основном, потому, что в повседневной жизни люди привыкли пользоваться десятичной системой счисления, и не требуется никакая другая. В вычислительных же машинах используется двоичная система счисления, так как оперировать числами, записанными в двоичном виде, довольно просто.
Часто в информатике используют шестнадцатеричную систему, так как запись чисел в ней значительно короче записи чисел в двоичной системе. Может возникнуть вопрос: почему бы не использовать для записи очень больших чисел систему счисления, например по основанию 50? Для такой системы счисления необходимы 10 обычных цифр плюс 40 знаков, которые соответствовали бы числам от 10 до 49 и вряд ли кому-нибудь понравится работать с этими сорока знаками. Поэтому в реальной жизни системы счисления по основанию, большему 16, практически не используются.
Перевод чисел из одной системы счисления в другую.
Наиболее часто встречающиеся системы счисления – это двоичная, шестнадцатеричная и десятичная. Как же связаны между собой представления числа в различных системах счисления? Есть различные способы перевода чисел из одной системы счисления в другую на конкретных примерах.
Пусть нужно перевести число 567 из десятичной в двоичную систему. Сначала определяется максимальная степень двойки, такая, чтобы два в этой степени было меньше или равно исходному числу. В данном случае это 9, т.к. 2 9 = 512, а 2 10 = 1024, что больше начального числа. Таким образом получается число разрядов результата, оно равно 9 + 1 = 10, поэтому результат будет иметь вид 1ххххххххх , где вместо х могут стоять любые двоичные цифры. Вторая цифра результата находится так – двойка возводится в степень 9 и вычитается из исходного числа: 567 – 2 9 = 55. Остаток сравнивается с числом 2 8 = 256. Так как 55 меньше 256, то девятый разряд – нуль, т.е. результат имеет вид 10хххххххх . Рассмотрим восьмой разряд. Так как 2 7 = 128 > 55, то и он будет нулевым.
Седьмой разряд также оказывается нулевым. Искомая двоичная запись числа принимает вид 1000хххххх . 2 5 = 32 ххххх). Для остатка 55 – 32 = 23 справедливо неравенство 2 4 = 16
567 = 1·2 9 + 0·2 8 + 0·2 7 + 0·2 6 + 1·2 5 + 1·2 4 + 0·2 3 + 1·2 2 + 1·2 1 + 1·2 0
При другом способе перевода чисел используется операция деления в столбик. Если взять то же число 567 и разделить его на 2, получается частное 283 и остаток 1. Та же операция производится и с числом 283. Частное – 141, остаток – 1. Опять полученное частное делится на 2 и так до тех пор, пока частное не станет меньше делителя. Теперь, чтобы получить число в двоичной системе счисления, достаточно записать последнее частное, т.е. 1, и приписать к нему в обратном порядке все полученные в процессе деления остатки.
Результат, естественно, не изменился: 567 в двоичной системе счисления записывается как 1 000 110 111.
Эти два способа применимы при переводе числа из десятичной системы в систему с любым основанием. Например, при переводе числа 567 в систему счисления с основанием 16 число сначала разлагается по степеням основания. Искомое число состоит из трех цифр, т.к. 16 2 = 256 хх, где вместо х могут стоять любые шестнадцатеричные цифры. Остается распределить по следующим разрядам число 55 (567 – 512). 3·16 = 48
Второй способ состоит в последовательном делении в столбик, с единственным отличием в том, что делить надо не на 2, а на 16, и процесс деления заканчивается, когда частное становится строго меньше 16.
Конечно, для записи числа в шестнадцатеричной системе счисления, необходимо заменить 10 на A, 11 на B и так далее.
Операция перевода в десятичную систему выглядит гораздо проще, так как любое десятичное число можно представить в виде x = a 0·p n + a 1·p n –1 +... + a n –1·p 1 + a n ·p 0, где a 0 ... a n – это цифры данного числа в системе счисления с основанием p .
Например,так можно перевести число 4A3F в десятичную систему. По определению, 4A3F= 4·16 3 + A·16 2 + 3·16 + F. При замене A на 10, а F на 15, получается 4·16 3 + 10·16 2 + 3·16 + 15= 19007.
Проще всего переводить числа из двоичной системы в системы с основанием, равным степеням двойки (8 и 16), и наоборот. Для того чтобы целое двоичное число записать в системе счисления с основанием 2 n , нужно данное двоичное число разбить справа налево на группы по n -цифр в каждой; если в последней левой группе окажется меньше n разрядов, то дополнить ее нулями до нужного числа разрядов; рассмотреть каждую группу, как n -разрядное двоичное число, и заменить ее соответствующей цифрой в системе счисления с основанием 2 n .
| Таблица 1. ДВОИЧНО-ШЕСТНАДЦАТЕРИЧНАЯ ТАБЛИЦА | ||||||||
| 2-ная | 0000 | 0001 | 0010 | 0011 | 0100 | 0101 | 0110 | 0111 |
| 16-ная | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 |
| 2-ная | 1000 | 1001 | 1010 | 1011 | 1100 | 1101 | 1110 | 1111 |
| 16-ная | 8 | 9 | A | B | C | D | E | F |
Известный французский астроном, математик и физик Пьер Симон Лаплас (1749–1827) писал об историческом развитии систем счисления, что «Мысль выражать все числа девятью знаками, придавая им, кроме значения по форме, еще значение по месту, настолько проста, что именно из-за этой простоты трудно понять, насколько она удивительна. Как нелегко было прийти к этому методу, мы видим на примере величайших гениев греческой учености Архимеда и Аполлония, от которых эта мысль осталась скрытой.»
Сравнение десятичной системы исчисления с иными позиционными системами позволило математикам и инженерам-конструкторам раскрыть удивительные возможности современных недесятичных систем счисления, обеспечившие развитие компьютерной техники.
Анна Чугайнова
Системы счисления - что это? Даже не зная ответа на этот вопрос, каждый из нас поневоле в своей жизни пользуется системами счисления и не подозревает об этом. Именно так, во множественном числе! То есть не одной, а несколькими. Прежде чем привести примеры непозиционных систем счисления, давайте разберемся в этом вопросе, поговорим и о позиционных системах тоже.
Потребность в счете
С древности люди имели потребность в счете, то есть интуитивно осознавали, что нужно каким-то образом выразить количественное видение вещей и событий. Мозг подсказывал, что необходимо использовать предметы для счета. Наиболее удобными всегда были пальцы на руках, и это понятно, ведь они всегда в наличии (за редкими исключениями).
Вот и приходилось древним представителям рода человеческого загибать пальцы в прямом смысле - обозначать количество убитых мамонтов, например. Названий у таких элементов счета еще не было, а лишь визуальная картинка, сопоставление.
Современные позиционные системы счисления
Система счисления - это метод (способ) преставления количественных значений и величин посредством определенных знаков (символов или букв).
Необходимо понимать, что такое позиционность и непозиционность в счете, прежде чем приводить примеры непозиционных систем счисления. Позиционных систем счисления множество. Сейчас используют в различных областях знаний следующие: двоичную (включает только два значимых элемента: 0 и 1), шестеричную (количество знаков - 6), восьмеричную (знаков - 8), двенадцатеричную (двенадцать знаков), шестнадцатеричную (включает шестнадцать знаков). Причем каждый ряд знаков в системах начинается с нуля. основаны на использовании двоичных кодов - двоичной позиционной системы счисления.
Десятичная система счисления
Позиционностью считается наличие в различной степени значимых позиций, на которых располагаются знаки числа. Лучше всего это можно продемонстрировать на примере десятичной системы счисления. Ведь именно ею мы привыкли пользоваться с самого детства. Знаков в этой системе десять: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Возьмем число 327. В нем имеются три знака: 3, 2, 7. Каждый из них расположен на своей позиции (месте). Семерка занимает позицию, отведенную под единичные значения (единицы), двойка - десятки, а тройка - сотни. Так как число трехзначное, следовательно, позиций в нем всего три.
Исходя из вышесказанного, такое трехзначное десятичное число можно описать следующим образом: три сотни, два десятка и семь единиц. Причем значимость (важность) позиций отсчитывается слева направо, от слабой позиции (единицы) к более сильной (сотни).
Нам очень удобно себя чувствовать в десятичной позиционной системе счисления. У нас на руках десять пальцев, на ногах - также. Пять плюс пять - так, благодаря пальцам, мы с детства легко представляем себе десяток. Вот почему бывает легко детям учить таблицу умножения на пять и на десять. А еще так просто научиться считать денежные банкноты, которые чаще всего кратны (то есть делятся без остатка) на пять и на десять.
Другие позиционные системы счисления
К удивлению многих, следует сказать, что не только в десятичной системе счета наш мозг привык делать некие расчеты. До сих пор человечество пользуется шестеричной и двенадцатеричной системами счисления. То есть в такой системе существует только шесть знаков (в шестеричной): 0, 1, 2, 3, 4, 5. В двенадцатеричной их двенадцать: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, А, В, где А - обозначает число 10, В - число 11 (так как знак должен быть один).
Посудите сами. Мы считаем время шестерками, не так ли? Один час - шестьдесят минут (шесть десятков), одни сутки - это двадцать четыре часа (два раза по двенадцать), год - двенадцать месяцев и так далее... Все временные интервалы легко укладываются в шести- и двенадцатеричные ряды. Но мы настолько к этому привыкли, что даже не задумываемся при отсчете времени.
Непозиционные системы счисления. Унарная
Необходимо определиться в том, что это такое - непозиционная система счисления. Это такая знаковая система, в которой нет позиций для знаков числа, или принцип "прочтения" числа от позиции не зависит. В ней также существуют свои правила записи или вычислений.
Приведем примеры непозиционных систем счисления. Вернемся к древности. Люди нуждались в счете и придумали наиболее простое изобретение - узелки. Непозиционной системой счисления является узелковая. Один предмет (мешок риса, бык, и пр.) отсчитывали, например, при покупке или продаже и завязывали узелок на веревочке.
В итоге на веревке получалось столько узелков, сколько мешков риса куплено (как пример). Но также это могли быть насечки на деревянной палочке, на каменной плите и т.д. Такая система счисления стала называться узелковой. У нее существует второе название - унарная, или единичная ("уно" на латыни означает "один").
Становится очевидным, что данная система счисления - непозиционная. Ведь о каких позициях может идти речь, когда она (позиция) всего одна! Как ни странно, в некоторых уголках Земли до сих пор в ходу унарная непозиционная система счисления.
Также к непозиционным системам счисления относят:
- римскую (для написания чисел используются буквы - латинские символы);
- древнеегипетскую (похожа на римскую, также использовались символы);
- алфавитную (использовались буквы алфавита);
- вавилонскую (клинопись - использовали прямой и превернутый "клин");
- греческую (также относят к алфавитной).
Римская система счисления
Древняя римская империя, а также ее наука, была очень прогрессивной. Римляне дали миру множество полезных изобретений науки и искусства, в том числе свою систему счета. Две сотни лет назад римские числа использовали для обозначения сумм в деловых документах (таким образом избегали подделки).
Пример непозиционной системы счисления, она известна нам сейчас. Также римская система активно используется, но не для математических расчетов, а для узко направленных действий. Например, с помощью римских чисел принято обозначать исторические даты, века, номера томов, разделов и глав в книжных изданиях. Часто используют римские знаки для оформления циферблатов часов. А также римская нумерация является примером непозиционной системы счисления.
Римляне обозначали цифры буквами латиницы. Причем числа они записывали по определенным правилам. Существует перечень ключевых символов в римской системе счисления, с помощью них записывались все числа без исключения.
Правила составления чисел
Требуемое число получалось путем сложения знаков (букв латиницы) и вычисления их суммы. Рассмотрим, как символически записываются знаки в римской системе и как нужно их "считывать". Перечислим основные законы формирования чисел в римской непозиционной системе счисления.
- Число четыре - IV, состоит из двух знаков (I, V - один и пять). Оно получается путем вычитания меньшего знака из большего, если он стоит левее. Когда меньший знак расположен справа, необходимо складывать, тогда получится число шесть - VI.
- Необходимо складывать два одинаковых знака, стоящих рядом. Например: СС - это 200 (С - 100), или ХХ - 20.
- Если первый знак числа меньше второго, то третьим в этом ряду может быть символ, значение которого еще меньше первого. Чтобы не запутаться, приведем пример: CDX - 410 (в десятичной).
- Некоторые крупные числа могут быть представлены разными способами, что является одним из минусов римской системы счета. Приведем примеры: MVM (римская система) = 1000 + (1000 - 5) = 1995 (десятичная система) или MDVD = 1000 + 500 + (500 - 5) = 1995. И это еще не все способы.
Приемы арифметики
Непозиционная система счисления - это иногда сложный набор правил формирования чисел, их обработки (действий над ними). Арифметические операции в непозиционных системах счисления - дело непростое для современных людей. Не завидуем древнеримским математикам!
Пример сложения. Попробуем сложить два числа: XIX + XXVI = XXXV, это задание выполняется в два действия:
- Первое - берем и складываем меньшие доли чисел: IX + VI = XV (I после V и I перед X "уничтожают" друг друга).
- Второе - складываем большие доли двух чисел: X + XX = XXX.
Вычитание выполняется несколько сложнее. Уменьшаемое число требуется разбить на составные элементы, а после этого в уменьшаемом и вычитаемом сократить дублируемые символы. Из числа 500 вычтем 263:
D - CCLXIII = CCCCLXXXXVIIIII - CCLXIII = CCXXXVII.
Умножение римских чисел. Кстати, необходимо упомянуть, что у римлян не имелось знаков арифметичеких операций, они просто словами обозначали их.
Множимое число умножать нужно было на каждый отдельный символ множителя, получалось несколько произведений, которые необходимо было сложить. Таким способом производят умножение многочленов.
Что касается деления, то этот процесс в римской системе счисления был и остается наиболее сложным. Тут применялись древние римские счеты - абак. Чтобы работать с ним людей специально обучали (и не всякому человеку удавалось такую науку освоить).
О недостатках непозиционных систем
Как было сказано выше, в непозиционных системах счисления существуют свои недостатки, неудобства в использовании. Унарная достаточна проста для простого счета, но для арифметики и сложных вычислений она не годится вовсе.
В римской отсутствуют единые правила формирования больших чисел и возникает путаница, а также в ней очень сложно производить вычисления. Кроме того, самым которое могли записать древние римляне с помощью своего метода, было 100000.
