Mavzu biz teng kasrlarni ko'paytirishimiz kerakligi bilan bog'liq. Ushbu maqola sizga algebraik kasrlarni tabiiy kuchga to'g'ri ko'tarish uchun qanday qoidadan foydalanish kerakligini aytib beradi.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti
Quvvatni ko'tarishni boshlashdan oldin, tabiiy ko'rsatkichli kuch haqidagi maqola yordamida bilimingizni chuqurlashtirishingiz kerak, bu erda kuchning negizida bir xil omillar mahsuloti mavjud va ularning soni aniqlanadi. ko'rsatkich bo'yicha. Masalan, 2 3 = 2 2 2 = 8 raqami.
Quvvatni ko'tarishda biz ko'pincha qoidadan foydalanamiz. Buning uchun pay va maxrajni alohida darajaga ko'taring. Keling, 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9 misolini ko'rib chiqaylik. Qoida kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun qo'llaniladi.
Da algebraik kasrni tabiiy kuchga ko'tarish biz yangisini olamiz, bu erda hisoblagich asl kasrning kuchiga ega, maxraj esa maxrajning kuchiga ega. Bularning barchasi a b n = a n b n ga o'xshaydi, bu erda a va b ixtiyoriy ko'phadlar, b nolga teng emas, n esa natural sondir.
Ushbu qoidaning isboti kasr shaklida yozilgan bo'lib, uni tabiiy ko'rsatkichli ta'rifning o'ziga asoslanib, darajaga ko'tarish kerak. Keyin a b n = a b · a b · ko'rinishdagi kasrlarni ko'paytirishni olamiz. . . · a b = a · a · . . . · a b · b ·. . . · b = a n b n
Misollar, yechimlar
Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasi ketma-ket bajariladi: birinchi navbatda hisob, keyin maxraj. Numerator va maxrajda ko'phad mavjud bo'lganda, vazifaning o'zi berilgan ko'phadni bir darajaga ko'tarishga qisqartiriladi. Shundan so'ng, asl qismga teng bo'lgan yangi kasr ko'rsatiladi.
1-misol
X 2 3 · y · z 3 kasrni kvadratga aylantiring.
Yechim
X 2 3 · y · z 3 2 darajasini tuzatish kerak. Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasidan foydalanib, x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 ko'rinishdagi tenglikni olamiz. Endi hosil bo'lgan kasrni darajaga ko'tarib algebraik shaklga o'tkazish kerak. Keyin shaklning ifodasini olamiz
x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Eksponentsiyaning barcha holatlari batafsil tushuntirishni talab qilmaydi, shuning uchun yechimning o'zi qisqacha belgiga ega. Ya'ni, biz buni tushunamiz
x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Javob: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6.
Agar pay va maxrajda ko'phadlar bo'lsa, unda butun kasrni bir darajaga ko'tarish kerak, keyin uni soddalashtirish uchun qisqartirilgan ko'paytirish formulalaridan foydalanish kerak.
2-misol
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y kasrni kvadratga aylantiring.
Yechim
Qoidaga ko'ra, bizda shunday
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2
Ifodani o'zgartirish uchun siz maxrajdagi uchta haddan iborat yig'indining kvadrati formulasidan va hisoblagichda - ayirma kvadratidan foydalanishingiz kerak, bu ifodani soddalashtiradi. Biz olamiz:
2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2
Javob: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
E'tibor bering, biz tabiiy kuchga keltira olmaydigan kasrni ko'targanimizda, biz kamaytirilmaydigan kasrni ham olamiz. Bu keyinchalik hal qilishni osonlashtirmaydi. Berilgan kasrni kamaytirish mumkin bo'lganda, u holda darajaga ko'tarilganda, biz bir darajaga ko'tarilgandan keyin kamaytirishni amalga oshirmaslik uchun algebraik kasrni kamaytirishni amalga oshirish kerakligini aniqlaymiz.
Agar siz matnda xatolikni sezsangiz, uni belgilang va Ctrl+Enter tugmalarini bosing
Ba'zan matematikada sonni kasrni ifodalovchi darajaga ko'tarish kerak. Bizning maqolamiz sizga raqamni kasr darajasiga qanday ko'tarish kerakligini aytib beradi va bu juda oddiy ekanligini ko'rasiz.
Kasr darajasidagi son kamdan-kam hollarda butun son bo'ladi. Ko'pincha bunday qurilishning natijasi ma'lum darajada aniqlik bilan taqdim etilishi mumkin. Shuning uchun, agar hisoblashning aniqligi ko'rsatilmagan bo'lsa, unda butun sonlar uchun aniq hisoblangan qiymatlar topiladi va o'nli kasrdan keyin ko'p sonli raqamlarga ega bo'lganlar ildizlari bilan qoladi. Masalan, ettining kub ildizi yoki ikkitaning kvadrat ildizi. Fizikada bu ildizlarning hisoblangan qiymatlari boshqa darajadagi aniqlik kerak bo'lmaganda yuzdan biriga yaxlitlanadi.
Yechim algoritmi
- Kasrni noto'g'ri yoki to'g'ri kasrga aylantirish. Noto'g'ri kasrning butun bo'lgan qismini ajratmaslik kerak. Agar kasr darajasi butun son va kasr qism sifatida taqdim etilsa, uni noto'g'ri kasrga aylantirish kerak.
- Biz to'g'ri yoki noto'g'ri kasrning soniga teng bo'lgan berilgan sonning kuchining qiymatini hisoblaymiz.
- Biz 2-bosqichda olingan raqamning ildizini hisoblaymiz, uning ko'rsatkichi bizning kasrimizning maxrajidir.
Keling, bunday hisob-kitoblarga misollar keltiramiz
Bundan tashqari, ushbu hisob-kitoblar uchun siz kalkulyatorni kompyuteringizga yuklab olishingiz yoki onlayn kalkulyatorlardan foydalanishingiz mumkin, masalan, Internetda juda ko'p.
Tanishish vaqti keldi algebraik kasrni darajaga ko'tarish. Bu algebraik kasrlar bilan harakat daraja ma'nosi bir xil kasrlarni ko'paytirishga qisqartiriladi. Ushbu maqolada biz tegishli qoidani beramiz va algebraik kasrlarni tabiiy kuchga ko'tarish misollarini ko'rib chiqamiz.
Sahifani navigatsiya qilish.
Algebraik kasrni darajaga ko`tarish qoidasi, uning isboti
Algebraik kasrni bir darajaga ko'tarish haqida gapirishdan oldin, kuch bazasida bir xil omillarning mahsuloti nima ekanligini eslash zarar qilmaydi va ularning soni eksponent bilan belgilanadi. Masalan, 2 3 =2·2·2=8.
Endi oddiy kasrni darajaga ko'tarish qoidasini eslaylik - buning uchun siz hisoblagichni ko'rsatilgan kuchga va alohida maxrajga ko'tarishingiz kerak. Masalan, . Bu qoida algebraik kasrni tabiiy kuchga ko'tarish uchun amal qiladi.
Algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarish yangi kasrni beradi, uning numeratori asl kasrning ko'rsatilgan darajasini va maxraji - maxrajning darajasini o'z ichiga oladi. To'g'ridan-to'g'ri shaklda bu qoida tenglikka mos keladi , bu erda a va b ixtiyoriydir polinomlar(ayniqsa, monomlar yoki raqamlar), b nolga teng bo'lmagan ko'phad, n esa .
Algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasining isboti tabiiy ko'rsatkichli kuchning ta'rifiga va biz qanday aniqlaganimizga asoslanadi. algebraik kasrlarni ko'paytirish : 
.
Misollar, yechimlar
Oldingi paragrafda olingan qoida algebraik kasrni darajaga ko'tarishni asl kasrning hisoblagichi va maxrajini ushbu darajaga ko'tarishga kamaytiradi. Va asl algebraik kasrning hisoblagichi va maxraji polinomlar bo'lganligi sababli (muayyan holatda, monomlar yoki raqamlar), asl vazifa quyidagicha kamayadi. polinomlarni kuchga ko'tarish. Ushbu amalni bajargandan so'ng, asl algebraik kasrning belgilangan darajasiga teng bo'lgan yangi algebraik kasr olinadi.
Keling, bir nechta misollarning echimlarini ko'rib chiqaylik.
Misol.
Algebraik kasrning kvadrati.
Yechim.
Keling, darajani yozamiz. Endi biz algebraik kasrni darajaga ko'tarish qoidasiga murojaat qilamiz, bu bizga tenglikni beradi 
. Olingan kasrni bajarish orqali algebraik kasr shakliga aylantirish qoladi monomiallarni kuchga ko'tarish. Shunday qilib 
.
Odatda, algebraik kasrni darajaga ko'tarishda yechim tushuntirilmaydi, lekin yechim qisqacha yoziladi. Bizning misolimiz kirishga mos keladi 
.
Javob:
.
Agar algebraik kasrning soni va/yoki maxrajida ko‘phadlar, ayniqsa binomlar bo‘lsa, uni bir darajaga ko‘tarishda mos keladigan kasrdan foydalanish tavsiya etiladi. qisqartirilgan ko'paytirish formulalari.
Misol.
Algebraik kasrni tuzing 
ikkinchi darajaga.
Yechim.
Kasrni kuchga ko'tarish qoidasiga ko'ra, bizda bor 
.
Olingan ifodani numeratorga aylantirish uchun biz foydalanamiz kvadrat ayirma formulasi, va maxrajda - uch had yig'indisining kvadrati formulasi :
Javob:
Xulosa qilib shuni ta'kidlaymizki, agar kamaytirilmaydigan algebraik kasrni tabiiy darajaga ko'tarsak, natijada ham qaytarilmas kasr bo'ladi. Agar dastlabki kasr kamaytiriladigan bo'lsa, uni kuchga ko'tarishdan oldin bajarish tavsiya etiladi algebraik kasrning qisqarishi eksponentatsiyadan keyin qisqartirishni amalga oshirmaslik uchun.
Adabiyotlar ro'yxati.
- Algebra: darslik 8-sinf uchun. umumiy ta'lim muassasalar / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; tomonidan tahrirlangan S. A. Telyakovskiy. - 16-nashr. - M.: Ta'lim, 2008. - 271 b. : kasal. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovich A.G. Algebra. 8-sinf. 2 soat ichida 1-qism. Umumta'lim muassasalari o'quvchilari uchun darslik / A. G. Mordkovich. - 11-nashr, o'chirilgan. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 b.: kasal. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (texnika maktablariga kiruvchilar uchun qo'llanma): Proc. nafaqa.- M.; Yuqori maktab, 1984.-351 b., kasal.
cleverstudent tomonidan mualliflik huquqi
Barcha huquqlar himoyalangan.
Mualliflik huquqi qonuni bilan himoyalangan. Saytning hech bir qismi, shu jumladan ichki materiallar va tashqi ko'rinish, mualliflik huquqi egasining yozma ruxsatisiz har qanday shaklda ko'paytirilishi yoki ishlatilishi mumkin emas.
