Téma sa scvrkáva na skutočnosť, že musíme násobiť rovnaké zlomky. Tento článok vám povie, aké pravidlo musíte použiť, aby ste správne povýšili algebraické zlomky na prirodzenú mocninu.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Pravidlo na zvýšenie algebraického zlomku na mocninu, jeho dôkaz
Skôr ako začnete zvyšovať na mocninu, musíte si prehĺbiť vedomosti pomocou článku o mocnine s prirodzeným exponentom, kde existuje súčin rovnakých faktorov, ktoré sú základom mocniny a ich počet je určený. podľa exponenta. Napríklad číslo 2 3 = 2 2 2 = 8.
Pri zvyšovaní sily najčastejšie používame pravidlo. Ak to chcete urobiť, zvýšte čitateľa a menovateľa oddelene na mocninu. Pozrime sa na príklad 2 3 2 = 2 2 3 2 = 4 9. Pravidlo platí pre zvýšenie zlomku na prirodzenú silu.
O zvýšenie algebraického zlomku na prirodzenú mocninu dostaneme nový, kde čitateľ má mocninu pôvodného zlomku a menovateľ má mocninu menovateľa. Toto všetko vyzerá ako a b n = a n b n , kde a a b sú ľubovoľné polynómy, b je nenulové a n je prirodzené číslo.
Dôkaz tohto pravidla je napísaný vo forme zlomku, ktorý musí byť umocnený na základe samotnej definície s prirodzeným exponentom. Potom dostaneme násobenie zlomkov tvaru a b n = a b · a b · . . . · a b = a · a · . . . · a b · b · . . . · b = a n b n
Príklady, riešenia
Pravidlo na zvýšenie algebraického zlomku na mocninu sa vykonáva postupne: najprv čitateľ, potom menovateľ. Keď je v čitateli a menovateli polynóm, potom sa samotná úloha zredukuje na umocnenie daného polynómu na mocninu. Potom sa zobrazí nový zlomok, ktorý sa rovná pôvodnému.
Príklad 1
Druhá mocnina zlomku x 2 3 · y · z 3.
Riešenie
Je potrebné zafixovať stupeň x 2 3 · y · z 3 2 . Pomocou pravidla na umocnenie algebraického zlomku na mocninu dostaneme rovnosť tvaru x 2 3 · y · z 3 2 = x 2 2 3 · y · z 3 2 . Teraz je potrebné previesť výsledný zlomok do algebraického tvaru jeho umocnením na mocninu. Potom dostaneme vyjadrenie formy
x 2 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 2 y 2 z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
Všetky prípady umocňovania nevyžadujú podrobné vysvetlenie, takže samotné riešenie má krátky zápis. To znamená, že to chápeme
x 2 3 y z 3 2 = x 2 2 3 y z 3 2 = x 4 9 y 2 z 6
odpoveď: x 2 3 · y · z 3 2 = x 4 9 · y 2 · z 6 .
Ak majú čitateľ a menovateľ polynómy, potom je potrebné umocniť celý zlomok a potom použiť skrátené vzorce na násobenie na zjednodušenie.
Príklad 2
Odmocni zlomok 2 x - 1 x 2 + 3 x y - y.
Riešenie
Z pravidla to máme
2 x - 1 x 2 + 3 x y - y 2 = 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2
Na transformáciu výrazu musíte použiť vzorec pre druhú mocninu súčtu troch pojmov v menovateli a v čitateli - druhú mocninu rozdielu, čo výraz zjednoduší. Dostaneme:
2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = = 2 x 2 - 2 2 x 1 + 1 2 x 2 2 + 3 x y 2 + - y 2 + 2 · x 2 · 3 · x · y + 2 · x 2 · (- y) + 2 · 3 · x · y · - y = = 4 · x 2 - 4 · x + 1 x 4 + 9 · x 2 · y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 x 2 y - 6 x y 2
odpoveď: 2 x - 1 2 x 2 + 3 x y - y 2 = 4 x 2 - 4 x + 1 x 4 + 9 x 2 y 2 + y 2 + 6 x 3 y - 2 · x 2 · y - 6 · x · y 2
Všimnite si, že keď získame zlomok, ktorý nemôžeme zredukovať na prirodzenú mocnosť, získame aj nezredukovateľný zlomok. To neuľahčuje neskoršie riešenie. Keď je možné daný zlomok zmenšiť, potom pri zvýšení na mocninu zistíme, že je potrebné vykonať zmenšenie algebraického zlomku, aby sme sa vyhli vykonaniu zmenšenia po umocnení.
Ak si všimnete chybu v texte, zvýraznite ju a stlačte Ctrl+Enter
Niekedy v matematike potrebujete zvýšiť číslo na mocninu, ktorá predstavuje zlomok. Náš článok vám povie, ako zvýšiť číslo na zlomkovú mocninu, a uvidíte, že je to veľmi jednoduché.
Číslo na zlomkovú mocninu je veľmi zriedka celé číslo. Výsledok takejto konštrukcie môže byť často prezentovaný s určitým stupňom presnosti. Preto, ak nie je špecifikovaná presnosť výpočtu, potom sa zistia tie hodnoty, ktoré sú vypočítané s presnosťou na celé čísla, a tie, ktoré majú veľký počet číslic za desatinnou čiarkou, sú ponechané so svojimi koreňmi. Napríklad odmocnina zo siedmich alebo druhá odmocnina z dvoch. Vo fyzike sú vypočítané hodnoty týchto koreňov zaokrúhlené na stotiny, keď nie je potrebný iný stupeň presnosti.
Algoritmus riešenia
- Premena zlomku na nesprávny alebo správny zlomok. Časť nesprávnej frakcie, ktorá je celkom, by sa nemala izolovať. Ak je zlomková mocnina prezentovaná ako celé číslo a zlomková časť, potom sa musí previesť na nesprávny zlomok
- Vypočítame hodnotu mocniny daného čísla, ktorá sa rovná čitateľovi vlastného alebo nevlastného zlomku
- Vypočítame koreň čísla získaného v kroku 2, ktorého ukazovateľom je menovateľ nášho zlomku
Uveďme príklady takýchto výpočtov
Taktiež si na tieto výpočty môžete stiahnuť do počítača kalkulačku alebo použiť online kalkulačky, ktorých je napríklad na internete veľa.
Je čas sa zoznámiť zvýšenie algebraického zlomku na mocninu. Toto akcia s algebraickými zlomkami význam stupňa sa redukuje na násobenie rovnakých zlomkov. V tomto článku uvedieme zodpovedajúce pravidlo a pozrieme sa na príklady zvyšovania algebraických zlomkov na prirodzenú mocninu.
Navigácia na stránke.
Pravidlo na zvýšenie algebraického zlomku na mocninu, jeho dôkaz
Predtým, ako budeme hovoriť o umocnení algebraického zlomku na mocninu, nezaškodí si pripomenúť, aký je súčin rovnakých faktorov na mocnine a ich počet je určený exponentom. Napríklad 2 3 =2·2·2=8.
Teraz si spomeňme na pravidlo pre zvýšenie obyčajného zlomku na mocninu - aby ste to dosiahli, musíte samostatne zvýšiť čitateľa na zadaný výkon a osobitne menovateľa. Napr. Toto pravidlo platí pre zvýšenie algebraického zlomku na prirodzenú mocninu.
Zvýšenie algebraického zlomku na prirodzenú mocninu dáva nový zlomok, ktorého čitateľ obsahuje uvedený stupeň čitateľa pôvodného zlomku a menovateľ - stupeň menovateľa. V doslovnej forme toto pravidlo zodpovedá rovnosti , kde a a b sú ľubovoľné polynómy(v konkrétnych prípadoch monočleny alebo čísla), pričom b je nenulový polynóm a n je .
Dôkaz uvedeného pravidla na zvýšenie algebraického zlomku na mocninu je založený na definícii mocniny s prirodzeným exponentom a na tom, ako sme definovali násobenie algebraických zlomkov : 
.
Príklady, riešenia
Pravidlo získané v predchádzajúcom odseku znižuje umocnenie algebraického zlomku na mocninu na zvýšenie čitateľa a menovateľa pôvodného zlomku na túto mocninu. A keďže čitateľom a menovateľom pôvodného algebraického zlomku sú polynómy (v konkrétnom prípade monočleny alebo čísla), potom sa pôvodná úloha redukuje na umocnenie polynómov. Po vykonaní tejto akcie sa získa nový algebraický zlomok, zhodne rovný zadanému stupňu pôvodného algebraického zlomku.
Pozrime sa na riešenia niekoľkých príkladov.
Príklad.
Druhá mocnina algebraického zlomku.
Riešenie.
Zapíšeme si stupeň. Teraz prejdeme k pravidlu na zvýšenie algebraického zlomku na mocninu, dáva nám to rovnosť 
. Zostáva previesť výsledný zlomok do podoby algebraického zlomku vykonaním povýšenie monomálov na mocnosti. Takže 
.
Zvyčajne sa pri umocnení algebraického zlomku na mocninu riešenie nevysvetlí, ale riešenie sa krátko zapíše. Náš príklad zodpovedá záznamu 
.
odpoveď:
.
Ak čitateľ a/alebo menovateľ algebraického zlomku obsahuje polynómy, najmä binómy, potom pri jeho umocňovaní je vhodné použiť príslušný skrátené vzorce násobenia.
Príklad.
Zostrojte algebraický zlomok 
na druhý stupeň.
Riešenie.
Podľa pravidla pre zvýšenie zlomku na mocninu máme 
.
Na transformáciu výsledného výrazu do čitateľa použijeme vzorec štvorcového rozdielu a v menovateli – vzorec pre druhú mocninu súčtu troch členov :
odpoveď:
Na záver poznamenávame, že ak povýšime neredukovateľný algebraický zlomok na prirodzenú mocninu, výsledkom bude tiež nezredukovateľný zlomok. Ak je pôvodná frakcia redukovateľná, je vhodné ju pred zvýšením na výkon vykonať redukcia algebraického zlomku aby sa zabránilo vykonaniu redukcie po umocnení.
Bibliografia.
- Algebra: učebnica pre 8. ročník. všeobecné vzdelanie inštitúcie / [Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, S. B. Suvorova]; upravil S. A. Teljakovskij. - 16. vyd. - M.: Vzdelávanie, 2008. - 271 s. : chorý. - ISBN 978-5-09-019243-9.
- Mordkovič A.G. Algebra. 8. trieda. Za 2 hod.. Časť 1. Učebnica pre študentov všeobecnovzdelávacích inštitúcií / A. G. Mordkovich. - 11. vyd., vymazané. - M.: Mnemosyne, 2009. - 215 s.: chor. ISBN 978-5-346-01155-2.
- Gusev V. A., Mordkovich A. G. Matematika (príručka pre študentov technických škôl): Proc. príspevok.- M.; Vyššie škola, 1984.-351 s., ill.
Autorské práva chytrých študentov
Všetky práva vyhradené.
Chránené autorským zákonom. Žiadna časť stránky, vrátane interných materiálov a vzhľadu, nesmie byť reprodukovaná v žiadnej forme ani použitá bez predchádzajúceho písomného súhlasu držiteľa autorských práv.
