Lekcia "Arktangens a arkotangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a." Arktangens a arkotangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a - Znalostný hypermarket Tg 1 rovnica

Môžete si objednať podrobné riešenie vášho problému!!!

Rovnosť obsahujúca neznámu pod znamienkom goniometrickej funkcie (`sin x, cos x, tan x` alebo `ctg x`) sa nazýva goniometrická rovnica a ďalej sa budeme zaoberať ich vzorcami.

Najjednoduchšie rovnice sú `sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a`, kde `x` je uhol, ktorý sa má nájsť, `a` je ľubovoľné číslo. Zapíšme si koreňové vzorce pre každý z nich.

1. Rovnica `sin x=a`.

Pre `|a|>1` nemá žiadne riešenia.

Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Rovnica `cos x=a`

Pre `|a|>1` - ako v prípade sínusu, nemá medzi reálnymi číslami žiadne riešenia.

Keď `|a| \leq 1` má nekonečný počet riešení.

Koreňový vzorec: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Špeciálne prípady pre sínus a kosínus v grafoch.

3. Rovnica `tg x=a`

Má nekonečný počet riešení pre ľubovoľné hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Rovnica `ctg x=a`

Má tiež nekonečný počet riešení pre akékoľvek hodnoty „a“.

Koreňový vzorec: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Vzorce pre korene goniometrických rovníc v tabuľke

Pre sínus:
Pre kosínus:
Pre tangens a kotangens:
Vzorce na riešenie rovníc obsahujúcich inverzné goniometrické funkcie:

Metódy riešenia goniometrických rovníc

Riešenie akejkoľvek goniometrickej rovnice pozostáva z dvoch fáz:

• s pomocou premeny na najjednoduchšie;
• vyriešiť najjednoduchšiu rovnicu získanú pomocou koreňových vzorcov a tabuliek napísaných vyššie.

Pozrime sa na hlavné metódy riešenia pomocou príkladov.

Algebraická metóda.

Táto metóda zahŕňa nahradenie premennej a jej nahradenie rovnosťou.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0`

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

urobte náhradu: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, potom `2y^2-3y+1=0`,

nájdeme korene: `y_1=1, y_2=1/2`, z ktorých vyplývajú dva prípady:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorizácia.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `sin x+cos x=1`.

Riešenie. Presuňme všetky členy rovnosti doľava: `sin x+cos x-1=0`. Pomocou , transformujeme a faktorizujeme ľavú stranu:

`sin x – 2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

„2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0“,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Odpoveď: `x_1=2\pi n`, `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Redukcia na homogénnu rovnicu

Najprv musíte túto trigonometrickú rovnicu zredukovať na jednu z dvoch foriem:

`a sin x+b cos x=0` (homogénna rovnica prvého stupňa) alebo `a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0` (homogénna rovnica druhého stupňa).

Potom obe časti vydeľte `cos x \ne 0` - pre prvý prípad a `cos^2 x \ne 0` - pre druhý prípad. Získame rovnice pre `tg x`: `a tg x+b=0` a `a tg^2 x + b tg x +c =0`, ktoré je potrebné vyriešiť známymi metódami.

Príklad. Vyriešte rovnicu: `2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1`.

Riešenie. Napíšme pravú stranu ako `1=sin^2 x+cos^2 x`:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 hriech^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` hriech^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Ide o homogénnu goniometrickú rovnicu druhého stupňa, jej ľavú a pravú stranu vydelíme `cos^2 x \ne 0`, dostaneme:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Zavedme nahradenie `tg x=t`, výsledkom čoho bude `t^2 + t - 2=0`. Korene tejto rovnice sú `t_1=-2` a `t_2=1`. potom:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Prechod do polovičného uhla

Príklad. Vyriešte rovnicu: `11 sin x - 2 cos x = 10`.

Riešenie. Aplikujme vzorce s dvojitým uhlom, výsledkom čoho je: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x /2 +10 cos^2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Použitím vyššie opísanej algebraickej metódy dostaneme:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Zavedenie pomocného uhla

V goniometrickej rovnici `a sin x + b cos x =c`, kde a,b,c sú koeficienty a x je premenná, vydeľte obe strany `sqrt (a^2+b^2)`:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2) ) +b^2))“.

Koeficienty na ľavej strane majú vlastnosti sínus a kosínus, konkrétne súčet ich druhých mocnín je rovný 1 a ich moduly nie sú väčšie ako 1. Označme ich takto: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, potom:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Pozrime sa bližšie na nasledujúci príklad:

Príklad. Vyriešte rovnicu: `3 sin x+4 cos x=2`.

Riešenie. Vydelíme obe strany rovnosti `sqrt (3^2+4^2)`, dostaneme:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2)).

`3/5 hriechu x+4/5 čos x=2/5`.

Označme `3/5 = cos \varphi` , `4/5=sin \varphi`. Keďže `sin \varphi>0`, `cos \varphi>0`, potom berieme `\varphi=arcsin 4/5` ako pomocný uhol. Potom svoju rovnosť zapíšeme v tvare:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Použitím vzorca pre súčet uhlov pre sínus zapíšeme našu rovnosť v nasledujúcom tvare:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Odpoveď. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Zlomkové racionálne goniometrické rovnice

Ide o rovnosti so zlomkami, ktorých čitateľ a menovateľ obsahuje goniometrické funkcie.

Príklad. Vyriešte rovnicu. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Riešenie. Vynásobte a vydeľte pravú stranu rovnosti `(1+cos x)`. V dôsledku toho dostaneme:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Ak vezmeme do úvahy, že menovateľ nemôže byť rovný nule, dostaneme `1+cos x \ne 0`, `cos x \ne -1`, ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`.

Dajme rovnítko medzi čitateľom zlomku a nulou: `sin x-sin^2 x=0`, `sin x(1-sin x)=0`. Potom „sin x=0“ alebo „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vzhľadom na to, že ` x \ne \pi+2\pi n, n \in Z`, riešenia sú `x=2\pi n, n \in Z` a `x=\pi /2+2\pi n` , `n \in Z`.

Odpoveď. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometria a najmä trigonometrické rovnice sa používajú takmer vo všetkých oblastiach geometrie, fyziky a inžinierstva. Štúdium začína v 10. ročníku, vždy sú úlohy na Jednotnú štátnu skúšku, preto si skúste zapamätať všetky vzorce goniometrických rovníc - určite sa vám budú hodiť!

Nemusíte sa ich však ani učiť naspamäť, hlavné je pochopiť podstatu a vedieť ju odvodiť. Nie je to také ťažké, ako sa zdá. Presvedčte sa sami sledovaním videa.

>> Arktangens a arkotangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arktangens a arckotangens. Riešenie rovníc tgx = a, ctgx = a

V príklade 2 §16 sme nedokázali vyriešiť tri rovnice:

Dve z nich sme už riešili - prvú v § 17 a druhú v § 18, preto sme museli zaviesť pojmy oblúkový kosínus a arkzín. Uvažujme tretiu rovnicu x = 2.
Grafy funkcií y=tg x a y=2 majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar - úsečka priesečníka priamky y = 2 s hlavnou vetvou dotyčnice. (Obr. 90). Pre číslo x1 prišli matematici s označením acrtg 2 (čítaj „oblúkový tangens dvoch“). Potom všetky korene rovnice x=2 možno opísať vzorcom x=arctg 2 + pk.
čo je agctg 2? Toto je číslo dotyčnica ktorý sa rovná 2 a ktorý patrí do intervalu
Uvažujme teraz rovnicu tg x = -2.
Funkčné grafy majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar os priesečníka priamky y = -2 s hlavnou vetvou tangentoidu. Pre číslo x 2 prišli matematici so zápisom arctg(-2). Potom všetky korene rovnice x = -2 možno opísať vzorcom

Čo je actg(-2)? Ide o číslo, ktorého dotyčnica je -2 a patrí do intervalu. Upozorňujeme (pozri obr. 90): x 2 = -x 2. To znamená, že arctg(-2) = - arctg 2.
Sformulujme definíciu arkustangens vo všeobecnej forme.

Definícia 1. arсtg a (arkus tangens a) je číslo z intervalu, ktorého dotyčnica sa rovná a. takže,

Teraz sme v pozícii, aby sme vyvodili všeobecný záver o riešení rovníc x=a: rovnica x = a má riešenia

Vyššie sme si všimli, že arctg(-2) = -arctg 2. Vo všeobecnosti platí, že pre akúkoľvek hodnotu vzorca je

Príklad 1 Vypočítať:

Príklad 2 Riešte rovnice:

A) Vytvorme vzorec riešenia:

Hodnotu arkustangensu v tomto prípade nevieme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme v získanom tvare.
odpoveď:
Príklad 3 Vyriešte nerovnosti:
Nerovnosti formulára je možné riešiť graficky pri dodržaní nasledujúcich plánov
1) zostrojte dotyčnicu y = tan x a priamku y = a;
2) vyberte pre hlavnú vetvu tangeizoidu interval osi x, na ktorom je daná nerovnosť splnená;
3) berúc do úvahy periodicitu funkcie y = tan x, napíšte odpoveď vo všeobecnom tvare.
Aplikujme tento plán na vyriešenie daných nerovností.

: a) Zostrojme grafy funkcií y = tgх a y = 1. Na hlavnej vetve tangensoidu sa pretínajú v bode

Vyberme interval osi x, na ktorom je hlavná vetva tangentoidu umiestnená pod priamkou y = 1 - toto je interval
Ak vezmeme do úvahy periodicitu funkcie y = tgх, dôjdeme k záveru, že daná nerovnosť je splnená na akomkoľvek intervale tvaru:

Spojenie všetkých takýchto intervalov predstavuje všeobecné riešenie danej nerovnosti.
Odpoveď možno napísať aj inak:

b) Zostavme grafy funkcií y = tan x a y = -2. Na hlavnej vetve tangentoidu (obr. 92) sa pretínajú v bode x = arctg(-2).

Vyberme interval osi x, na ktorom je hlavná vetva dotyčnice

Uvažujme rovnicu s tan x=a, kde a>0. Grafy funkcií y=ctg x a y =a majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar: x = x 1 + pk, kde x 1 =arccstg a je úsečka priesečníka priamky y=a s hlavnou vetvou tangentoidu (obr. 93). To znamená, že arcstg a je číslo, ktorého kotangens sa rovná a a ktoré patrí do intervalu (0, n); na tomto intervale je zostrojená hlavná vetva grafu funkcie y = сtg x.

Na obr. 93 uvádza aj grafické znázornenie riešenia rovnice c1tg = -a. Grafy funkcií y = сtg x a y = -а majú nekonečne veľa spoločných bodov, úsečky všetkých týchto bodov majú tvar x = x 2 + pk, kde x 2 = агсстg (- а) je úsečka priesečník priamky y = -а s tangenciálnou vetvou hlavnej priamky. To znamená, že arcstg(-a) je číslo, ktorého kotangens sa rovná -a a ktoré patrí do intervalu (O, n); na tomto intervale je zostrojená hlavná vetva grafu funkcie Y = сtg x.

Definícia 2. arccstg a (oblúkový kotangens a) je číslo z intervalu (0, n), ktorého kotangens sa rovná a.
takže,

Teraz môžeme vyvodiť všeobecný záver o riešení rovnice ctg x = a: rovnica ctg x = a má riešenia:

Upozorňujeme (pozri obr. 93): x 2 = n-x 1. Znamená to, že

Príklad 4. Vypočítať:

A) Povedzme

Rovnicu сtg x=а je možné takmer vždy previesť do tvaru, výnimkou je rovnica сtg x =0. Ale v tomto prípade s využitím toho, že môžete ísť do
rovnica cos x=0. Teda rovnica tvaru x = a nie je nezávislá.

A.G. Mordkovich Algebra 10. ročník

Kalendár-tematické plánovanie v matematike, video v matematike online, Matematika v škole na stiahnutie

Obsah lekcie poznámky k lekcii podporná rámcová lekcia prezentácia akceleračné metódy interaktívne technológie Prax úlohy a cvičenia autotest workshopy, školenia, prípady, questy domáce úlohy diskusia otázky rečnícke otázky študentov Ilustrácie audio, videoklipy a multimédiá fotografie, obrázky, grafika, tabuľky, diagramy, humor, anekdoty, vtipy, komiksy, podobenstvá, výroky, krížovky, citáty Doplnky abstraktyčlánky triky pre zvedavcov jasličky učebnice základný a doplnkový slovník pojmov iné Zdokonaľovanie učebníc a vyučovacích hodínoprava chýb v učebnici aktualizácia fragmentu v učebnici, prvky inovácie v lekcii, nahradenie zastaraných vedomostí novými Len pre učiteľov perfektné lekcie kalendárny plán na rok, metodické odporúčania, diskusné programy Integrované lekcie

V tejto lekcii budeme pokračovať v štúdiu arkustangens a riešení rovníc v tvare tg x = a pre ľubovoľné a. Na začiatku hodiny vyriešime rovnicu s tabuľkovou hodnotou a riešenie znázorníme na grafe a následne na kruhu. Ďalej riešime rovnicu tgx = a vo všeobecnom tvare a odvodíme všeobecný vzorec pre odpoveď. Znázornime výpočty na grafe a na kruhu a zvážme rôzne formy odpovede. Na konci hodiny vyriešime niekoľko úloh s riešeniami znázornenými na grafe a na kruhu.

Téma: Goniometrické rovnice

Lekcia: Arktangens a riešenie rovnice tgx=a (pokračovanie)

1. Téma lekcie, úvod

V tejto lekcii sa pozrieme na riešenie rovnice pre akékoľvek reálne

2. Riešenie rovnice tgx=√3

Úloha 1. Vyriešte rovnicu

Poďme nájsť riešenie pomocou funkčných grafov (obr. 1).

Uvažujme interval, na ktorom je funkcia monotónna, čo znamená, že je dosiahnutá len pre jednu hodnotu funkcie.

odpoveď:

Riešime rovnakú rovnicu pomocou číselného kruhu (obr. 2).

odpoveď:

3. Riešenie rovnice tgx=a vo všeobecnom tvare

Riešime rovnicu vo všeobecnom tvare (obr. 3).

Na intervale má rovnica jedinečné riešenie

Najmenšie pozitívne obdobie

Ilustrujme na číselnom kruhu (obr. 4).

4. Riešenie problémov

Úloha 2. Vyriešte rovnicu

Zmeňme premennú

Problém 3. Vyriešte systém:

Riešenie (obr. 5):

V bode je teda hodnota riešením systému je len bod

odpoveď:

Úloha 4. Vyriešte rovnicu

Riešime pomocou metódy zmeny premennej:

Úloha 5. Nájdite počet riešení rovnice na intervale

Vyriešme úlohu pomocou grafu (obr. 6).

Rovnica má tri riešenia na danom intervale.

Znázornime to na číselnom kruhu (obr. 7), aj keď to nie je také jasné ako na grafe.

Odpoveď: Tri riešenia.

5. Záver, záver

Rovnicu pre akékoľvek reálne sme vyriešili pomocou konceptu arkustangens. V ďalšej lekcii si predstavíme pojem arkus tangens.

Bibliografia

1. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Učebnica pre všeobecnovzdelávacie inštitúcie (profilová úroveň), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra a matematická analýza pre ročník 10 (učebnica pre študentov škôl a tried s pokročilým štúdiom matematiky). - M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartburd S. I. Hĺbkové štúdium algebry a matematickej analýzy. - M.: Prosveshchenie, 1997.

5. Zbierka úloh z matematiky pre uchádzačov o štúdium na vysokých školách (spracoval M. I. Skanavi).- M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraic simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Problémy algebry a princípy analýzy (príručka pre študentov 10. až 11. ročníka inštitúcií všeobecného vzdelávania). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Zbierka úloh z algebry a princípov analýzy: učebnica. príspevok pre 10-11 ročníkov. s hĺbkou študoval Matematika.-M.: Vzdelávanie, 2006.

Domáca úloha

Algebra a začiatok analýzy, ročník 10 (v dvoch častiach). Kniha problémov pre vzdelávacie inštitúcie (úroveň profilu), vyd. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Ďalšie webové zdroje

1. Matematika.

2. Problémy internetového portálu. ru.

3. Vzdelávací portál na prípravu na skúšky.

Vlnová rovnica, diferenciálna rovnica s parciálnymi deriváciami, popisujúca proces šírenia porúch v určitom médiu Tikhonov A.N. a Samarsky A.A., Equations of Mathematical Physics, 3. vyd., M., 1977. - str. 155....

Klasifikácia hyperbolických parciálnych diferenciálnych rovníc

Tepelná rovnica je parciálna diferenciálna rovnica parabolického typu, ktorá popisuje proces šírenia tepla v spojitom prostredí (plyn...

Matematické metódy používané v teórii systémov radenia

Pravdepodobnosti stavov sústavy možno zistiť zo sústavy Kolmogorovových diferenciálnych rovníc, ktoré sú zostavené podľa nasledujúceho pravidla: Na ľavej strane každej z nich je derivácia pravdepodobnosti i-tého stavu...

Nestacionárna Riccatiho rovnica

1. Všeobecná Riccatiho rovnica má tvar: , (1.1) kde P, Q, R sú spojité funkcie x ako x sa mení v intervale Rovnica (1.1) obsahuje ako špeciálne prípady rovnice, ktoré sme už uvažovali: s dostaneme a lineárna rovnica s -rovnicou Bernoulli...

Základy vedeckého výskumu a plánovania experimentov v doprave

Získame funkčnú závislosť Y = f(X) (regresná rovnica) pomocou metódy najmenších štvorcov (LSM). Použite lineárne (Y = a0 + a1X) a kvadratické závislosti (Y = a0 + a1X + a2X2) ako aproximačné funkcie. Pomocou metódy najmenších štvorcov sú hodnoty a0...

Pól polárneho súradnicového systému umiestnime na začiatok pravouhlého súradnicového systému, polárna os je kompatibilná s kladnou osou x (obr. 3). Ryža. 3 Vezmite rovnicu priamky v normálnom tvare: (3.1) - dĺžka kolmice...

Polárny súradnicový systém v rovine

Vytvorme rovnicu v polárnych súradniciach pre kružnicu prechádzajúcu pólom, so stredom na polárnej osi a polomerom R. Z pravouhlého trojuholníka OAA dostaneme OA = OA (obr. 4)...

Pojmy teórie vzorkovania. Distribučné série. Korelačná a regresná analýza

Preštudujte si: a) koncept párovej lineárnej regresie; b) zostavenie systému normálnych rovníc; c) vlastnosti odhadov pomocou metódy najmenších štvorcov; d) technika na nájdenie lineárnej regresnej rovnice. Predpokladajme...

Konštrukcia riešení diferenciálnych rovníc vo forme mocninných radov

Ako príklad aplikácie zostrojenej teórie uvažujme Besselovu rovnicu: (6.1) Kde. Singulárny bod z =0 je pravidelný. V záverečnej časti lietadla nie sú žiadne ďalšie prvky. V rovnici (6.1) má teda definujúca rovnica tvar, teda...

Riešenie maticových rovníc

Maticovú rovnicu XA=B možno tiež vyriešiť dvoma spôsobmi: 1. Inverzná matica sa vypočíta ktoroukoľvek zo známych metód. Potom bude riešenie maticovej rovnice vyzerať takto: 2...

Riešenie maticových rovníc

Vyššie popísané metódy nie sú vhodné na riešenie rovníc v tvare AX=XB, AX+XB=C. Nie sú vhodné ani na riešenie rovníc, v ktorých aspoň jeden z faktorov pre neznámu maticu X je singulárna matica...

Riešenie maticových rovníc

Rovnice tvaru AX = HA riešime rovnako ako v predchádzajúcom prípade, teda prvok po prvku. Riešením je nájdenie permutačnej matice. Pozrime sa bližšie na príklad. Príklad. Nájsť všetky matrice...

Stacionárna prevádzka čakacej siete s kosoštvorcovým obrysom

Zo stavu môže prejsť do jedného z nasledujúcich stavov: - v dôsledku príchodu aplikácie do fronty prvého uzla s intenzitou; - z dôvodu prijatia v ňom spracovanej žiadosti z prvého uzla do frontu tretieho uzla s intenzitou...

Goniometrické funkcie

Arkustangens čísla je číslo, ktorého sínus sa rovná a: ak a. Všetky korene rovnice možno nájsť pomocou vzorca:...

Numerické metódy riešenia matematických úloh

Už skôr v programe študenti získali predstavu o riešení goniometrických rovníc, zoznámili sa s pojmami arc cosine a arc sinus a príkladmi riešení rovníc cos t = a a sin t = a. V tomto videonávode sa pozrieme na riešenie rovníc tg x = a a ctg x = a.

Ak chcete začať študovať túto tému, zvážte rovnice tg x = 3 a tg x = - 3. Ak rovnicu tg x = 3 vyriešime pomocou grafu, uvidíme, že priesečník grafov funkcií y = tg x a y = 3 má nekonečný počet riešení, kde x = x 1 + πk. Hodnota x 1 je súradnica x priesečníka grafov funkcií y = tan x a y = 3. Autor zavádza pojem arkustangens: arctangens 3 je číslo, ktorého tan sa rovná 3, a toto číslo patrí do intervalu od -π/2 do π/2. Pomocou konceptu arctangens možno riešenie rovnice tan x = 3 zapísať ako x = arctan 3 + πk.

Analogicky sa rieši rovnica tg x = - 3. Zo zostrojených grafov funkcií y = tg x a y = - 3 je zrejmé, že priesečníky grafov, a teda aj riešenia rovníc, budú byť x = x 2 + πk. Pomocou arkustangensu možno riešenie zapísať ako x = arkustan (- 3) + πk. Na ďalšom obrázku vidíme, že arctg (- 3) = - arctg 3.

Všeobecná definícia arkustangensu je nasledovná: arkustangens a je číslo z intervalu od -π/2 do π/2, ktorého dotyčnica sa rovná a. Potom riešením rovnice tan x = a je x = arctan a + πk.

Autor uvádza príklad 1. Nájdite riešenie výrazu arktan Zavedieme si zápis: arkustangens čísla sa rovná x, potom tg x sa bude rovnať danému číslu, kde x patrí úsečke od -π /2 až π/2. Rovnako ako v príkladoch v predchádzajúcich témach použijeme tabuľku hodnôt. Podľa tejto tabuľky tangens tohto čísla zodpovedá hodnote x = π/3. Zapíšme si riešenie rovnice: arkustangens daného čísla sa rovná π/3, π/3 tiež patrí do intervalu od -π/2 do π/2.

Príklad 2 - vypočítajte arkustangens záporného čísla. Pomocou rovnosti arctg (- a) = - arctg a zadáme hodnotu x. Podobne ako v príklade 2 zapíšeme hodnotu x, ktorá patrí segmentu od -π/2 do π/2. Z tabuľky hodnôt zistíme, že x = π/3, teda -- tg x = - π/3. Odpoveď na rovnicu je - π/3.

Uvažujme príklad 3. Riešte rovnicu tg x = 1. Napíšte, že x = arctan 1 + πk. V tabuľke hodnota tg 1 zodpovedá hodnote x = π/4, teda arctg 1 = π/4. Túto hodnotu dosadíme do pôvodného vzorca x a napíšeme odpoveď x = π/4 + πk.

Príklad 4: vypočítajte tan x = - 4,1. V tomto prípade x = arctan (- 4,1) + πk. Pretože V tomto prípade nie je možné zistiť hodnotu arctg, odpoveď bude vyzerať ako x = arctg (- 4,1) + πk.

V príklade 5 je uvažované riešenie nerovnosti tg x > 1. Na jej vyriešenie zostrojíme grafy funkcií y = tan x a y = 1. Ako vidno na obrázku, tieto grafy sa pretínajú v bodoch x = π/4 + πk. Pretože v tomto prípade tg x > 1, na grafe zvýrazníme oblasť tangentoidu, ktorá sa nachádza nad grafom y = 1, kde x patrí do intervalu od π/4 do π/2. Odpoveď zapíšeme ako π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Ďalej zvážte rovnicu cot x = a. Na obrázku sú znázornené grafy funkcií y = cot x, y = a, y = - a, ktoré majú veľa priesečníkov. Riešenia možno zapísať ako x = x 1 + πk, kde x 1 = arcctg a a x = x 2 + πk, kde x 2 = arcctg (- a). Je potrebné poznamenať, že x2 = π-x1. Z toho vyplýva rovnosť arcctg (- a) = π - arcctg a. Nasleduje definícia oblúkového kotangensu: oblúkový kotangens a je číslo z intervalu od 0 do π, ktorého kotangens sa rovná a. Riešenie rovnice сtg x = a je napísané ako: x = arcctg a + πk.

Na konci video lekcie je urobený ďalší dôležitý záver - výraz ctg x = a možno zapísať ako tg x = 1/a za predpokladu, že a sa nerovná nule.

DEKODOVANIE TEXTU:

Uvažujme riešenie rovníc tg x = 3 a tg x = - 3. Ak prvú rovnicu vyriešime graficky, vidíme, že grafy funkcií y = tg x a y = 3 majú nekonečne veľa priesečníkov, ktorých úsečky napíšeme vo forme

x = x 1 + πk, kde x 1 je úsečka priesečníka priamky y = 3 s hlavnou vetvou tangentoidy (obr. 1), pre ktorú bolo vymyslené označenie

arctan 3 (oblúkový tangens troch).

Ako rozumieť arctg 3?

Ide o číslo, ktorého dotyčnica je 3 a toto číslo patrí do intervalu (- ;). Potom všetky korene rovnice tg x = 3 možno zapísať vzorcom x = arctan 3+πk.

Podobne riešenie rovnice tg x = - 3 môžeme zapísať v tvare x = x 2 + πk, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky y = - 3 s hlavnou vetvou čiary. tangentoida (obr. 1), pre ktorý je označenie arctg(- 3) (arkus tangenta mínus tri). Potom všetky korene rovnice môžeme zapísať vzorcom: x = arctan(-3)+ πk. Obrázok ukazuje, že arctg(- 3)= - arctg 3.

Sformulujme definíciu arkustangens. Arkustangens a je číslo z intervalu (-;), ktorého dotyčnica sa rovná a.

Často sa používa rovnosť: arctg(-a) = -arctg a, ktorá platí pre ľubovoľné a.

Keď poznáme definíciu arkustangens, môžeme urobiť všeobecný záver o riešení rovnice

tg x= a: rovnica tg x = a má riešenie x = arctan a + πk.

Pozrime sa na príklady.

PRÍKLAD 1. Vypočítajte arctan.

Riešenie. Nech arctg = x, potom tgх = a xϵ (- ;). Zobraz tabuľku hodnôt Preto x =, pretože tg = a ϵ (- ;).

Takže, arktan =.

PRÍKLAD 2. Vypočítajte arktan (-).

Riešenie. Pomocou rovnosti arctg(- a) = - arctg a napíšeme:

arctg(-) = - arctg . Nech - arctg = x, potom - tgх = a xϵ (- ;). Preto x =, keďže tg = a ϵ (- ;). Zobraziť tabuľku hodnôt

To znamená - arctg=- tgх= - .

PRÍKLAD 3. Riešte rovnicu tgх = 1.

1. Napíšte vzorec riešenia: x = arctan 1 + πk.

2. Nájdite hodnotu arkustangens

keďže tg = . Zobraziť tabuľku hodnôt

Takže arctan1= .

3. Nájdenú hodnotu vložte do vzorca riešenia:

PRÍKLAD 4. Vyriešte rovnicu tgх = - 4,1 (dotyčnica x sa rovná mínus štyrom bodom jedna).

Riešenie. Napíšme vzorec riešenia: x = arctan (- 4,1) + πk.

Hodnotu arkustangensu nevieme vypočítať, takže riešenie rovnice necháme v jej získanom tvare.

PRÍKLAD 5. Vyriešte nerovnosť tgх 1.

Riešenie. Vyriešime to graficky.

1. Zostrojme tangens

y = tgx a priamka y = 1 (obr. 2). Pretínajú sa v bodoch ako x = + πk.

2. Vyberme interval osi x, v ktorom sa hlavná vetva tangentoidu nachádza nad priamkou y = 1, keďže podľa podmienky tgх 1. Ide o interval (;).

3. Využívame periodicitu funkcie.

Vlastnosť 2. y=tg x je periodická funkcia s hlavnou periódou π.

Berúc do úvahy periodicitu funkcie y = tgх, napíšeme odpoveď:

(;). Odpoveď možno napísať ako dvojitú nerovnosť:

Prejdime k rovnici ctg x = a. Uveďme grafické znázornenie riešenia rovnice pre kladné a záporné a (obr. 3).

Grafy funkcií y = ctg x a y = a a tiež

y = ctg x a y = -a

majú nekonečne veľa spoločných bodov, ktorých úsečky vyzerajú takto:

x = x 1 +, kde x 1 je súradnica priesečníka priamky y = a s hlavnou vetvou dotyčnice a

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, kde x 2 je súradnica priesečníka priamky

y = - a s hlavnou vetvou tangentoidu a x 2 = arcсtg (- a).

Všimnite si, že x 2 = π - x 1. Zapíšme si teda dôležitú rovnosť:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Sformulujme definíciu: oblúk kotangens a je číslo z intervalu (0;π), ktorého kotangens sa rovná a.

Riešenie rovnice ctg x = a zapíšeme v tvare: x = arcctg a + .

Upozorňujeme, že rovnicu ctg x = a je možné transformovať do tvaru

tg x = okrem prípadov, keď a = 0.